(x-2)(x²+8x+16)=7(x+4)

Решение:

1. Разложим квадратный трёхчлен \( x^2 + 8x + 16 \) на множители: \( x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2 \).
2. Уравнение принимает вид: \( (x-2)(x+4)^2 = 7(x+4) \).
3. Перенесём все члены в левую часть: \( (x-2)(x+4)^2 - 7(x+4) = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( (x+4) \) за скобки: \( (x+4)[(x-2)(x+4) - 7] = 0 \).
5. Раскроем скобки во втором множителе: \( (x+4)[x^2 + 4x - 2x - 8 - 7] = 0 \).
6. Упростим выражение во вторых скобках: \( (x+4)[x^2 + 2x - 15] = 0 \).
7. Решим квадратное уравнение \( x^2 + 2x - 15 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \).
8. Корни квадратного уравнения: \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \).
9. Уравнение \( (x+4)[x^2 + 2x - 15] = 0 \) имеет три решения: \( x+4=0 \) или \( x^2+2x-15=0 \).
10. Таким образом, \( x = -4 \), \( x = 3 \) или \( x = -5 \).

Ответ: x = -4, x = 3, x = -5.