x = 3 cos^3 t, y = 3 sin^3 t, ось OX

Объяснение:

Перед нами параметрические уравнения кривой:

• \[ x = 3 \cos^3 t \]
• \[ y = 3 \sin^3 t \]

Также указано, что речь идет об оси OX. Это означает, что нам нужно выразить зависимость y от x, исключив параметр t, и, возможно, рассмотреть поведение кривой на оси OX (то есть, когда y = 0).

Шаг 1: Извлечение корней

Для начала, извлечем кубический корень из обеих частей уравнений:

• \[ \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{3 \cos^3 t} \implies \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{3} \cos t \]
• \[ \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{3 \sin^3 t} \implies \sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{3} \sin t \]

Теперь выразим cos t и sin t:

• \[ \cos t = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{3}} \]
• \[ \sin t = \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{3}} \]

Шаг 2: Использование основного тригонометрического тождества

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: The image contains a system of parametric equations and a label. The equations are for x and y in terms of a parameter t: x = 3 cos³ t and y = 3 sin³ t. The label next to the equations is "ось OX", which translates to "OX axis".

Анализ:

1. Параметрические уравнения:

• \[ x = 3 \cos^3 t \]
• \[ y = 3 \sin^3 t \]

2. Ось OX: Это означает, что мы рассматриваем точки, лежащие на горизонтальной оси. На оси OX значение y всегда равно 0.

Решение:

Чтобы исключить параметр t и получить уравнение кривой в декартовых координатах (x, y), мы можем использовать основное тригонометрическое тождество: The image contains a system of parametric equations and a label. The equations are for x and y in terms of a parameter t: x = 3 cos³ t and y = 3 sin³ t. The label next to the equations is "ось OX", which translates to "OX axis".

Анализ:

1. Параметрические уравнения:

• \[ x = 3 \cos^3 t \]
• \[ y = 3 \sin^3 t \]

2. Ось OX: Это означает, что мы рассматриваем точки, лежащие на горизонтальной оси. На оси OX значение y всегда равно 0.

Решение:

Чтобы исключить параметр t и получить уравнение кривой в декартовых координатах (x, y), мы можем использовать основное тригонометрическое тождество: The image displays a system of parametric equations and text. The equations are: $$x = 3 ext{cos}^3 t$$ and $$y = 3 ext{sin}^3 t$$. The text next to the equations is "ось OX", which means "OX axis".

Analysis:

1. Parametric Equations: The given equations define $$x$$ and $$y$$ in terms of a parameter $$t$$.
2. OX Axis: This indicates that we are interested in the behavior or properties related to the x-axis, where $$y=0$$.

Derivation of the Cartesian Equation:

1. From the given equations, we can isolate the trigonometric functions:
• \[ \left(\frac{x}{3}\right)^{1/3} = \cos t \]
• \[ \left(\frac{y}{3}\right)^{1/3} = \sin t \]
2. Using the identity $$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$$, we substitute the expressions for $$\cos t$$ and $$\sin t$$:
• \[ \left(\left(\frac{x}{3}\right)^{1/3}\right)^2 + \left(\left(\frac{y}{3}\right)^{1/3}\right)^2 = 1 \]
• \[ \left(\frac{x}{3}\right)^{2/3} + \left(\frac{y}{3}\right)^{2/3} = 1 \]
• \[ \frac{x^{2/3}}{3^{2/3}} + \frac{y^{2/3}}{3^{2/3}} = 1 \]
• Multiplying by $$3^{2/3}$$:
• \[ x^{2/3} + y^{2/3} = 3^{2/3} \]
• This can also be written as:
• \[ \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} = \sqrt[3]{9} \]

Consideration of the OX Axis:

The phrase "ось OX" suggests that we might need to find points where the curve intersects the x-axis, or describe the curve's relationship to it. The x-axis is defined by $$y=0$$. Let's find the points on the derived curve where $$y=0$$:.

• \[ x^{2/3} + 0^{2/3} = 3^{2/3} \]
• \[ x^{2/3} = 3^{2/3} \]
• Taking the cube root of both sides:
• \[ x^{2} = 3^{2} \]
• Squaring both sides:
• \[ x = \pm 3 \]

This means the curve intersects the x-axis at the points $$(3, 0)$$ and $$(-3, 0)$$.

In the context of parametric equations,