x-3(x-2)=18+2(5x-8)-6:(2x+1)

Решение:

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\( x - 3x + 6 = 18 + 10x - 16 - \frac{6}{2x+1} \)

\( -2x + 6 = 2 + 10x - \frac{6}{2x+1} \)

Перенесем все члены с x в левую часть, а числа — в правую:

\( -2x - 10x = 2 - 6 - \frac{6}{2x+1} \)

\( -12x = -4 - \frac{6}{2x+1} \)

Умножим обе части на \( -1 \):

\( 12x = 4 + \frac{6}{2x+1} \)

Умножим обе части на \( (2x+1) \) для избавления от знаменателя:

\( 12x(2x+1) = 4(2x+1) + 6 \)

\( 24x^2 + 12x = 8x + 4 + 6 \)

\( 24x^2 + 12x = 8x + 10 \)

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 24x^2 + 12x - 8x - 10 = 0 \)

\( 24x^2 + 4x - 10 = 0 \)

Разделим все члены на 2 для упрощения:

\( 12x^2 + 2x - 5 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(12)(-5) = 4 + 240 = 244 \]

Так как \( D > 0 \), у нас есть два действительных корня.

Найдем корни по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{244}}{2(12)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 \cdot 61}}{24} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{61}}{24} = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{12} \]

Таким образом, корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{12} \]

\[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{61}}{12} \]

Важно: Необходимо проверить, что знаменатель \( 2x+1 \) не равен нулю для найденных корней.

Для \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{12} \): \( 2x_1+1 = 2\left(\frac{-1 + \sqrt{61}}{12}\right)+1 = \frac{-1 + \sqrt{61}}{6}+1 = \frac{-1 + \sqrt{61} + 6}{6} = \frac{5 + \sqrt{61}}{6} \neq 0 \)

Для \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{61}}{12} \): \( 2x_2+1 = 2\left(\frac{-1 - \sqrt{61}}{12}\right)+1 = \frac{-1 - \sqrt{61}}{6}+1 = \frac{-1 - \sqrt{61} + 6}{6} = \frac{5 - \sqrt{61}}{6} \neq 0 \)

Оба корня допустимы.

Ответ: \( x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{61}}{12}, x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{61}}{12} \).