($$x-3)(x+7)-|x+7||x-8|=0$$)

Решение:

Рассмотрим уравнение: \( |x-3| |x+7| - |x+7| |x-8| = 0 \)

Вынесем общий множитель \( |x+7| \):

\[ |x+7| (|x-3| - |x-8|) = 0 \]

Это равенство выполняется, если:

1. \( |x+7| = 0 \)
2. \( |x-3| - |x-8| = 0 \)

Случай 1:

\[ |x+7| = 0 \]

\[ x+7 = 0 \]

\[ x = -7 \]

Случай 2:

\[ |x-3| - |x-8| = 0 \]

\[ |x-3| = |x-8| \]

Это равенство выполняется, если числа \( x-3 \) и \( x-8 \) равны по модулю. Возможны два варианта:

1. \( x-3 = x-8 \)
2. \( x-3 = -(x-8) \)

Вариант 2.1:

\[ x-3 = x-8 \]

\[ -3 = -8 \]

Это неверное равенство, поэтому решений нет.

Вариант 2.2:

\[ x-3 = -(x-8) \]

\[ x-3 = -x+8 \]

\[ 2x = 11 \]

\[ x = \frac{11}{2} \]

\[ x = 5.5 \]

Итак, у нас есть два решения: \( x = -7 \) и \( x = 5.5 \).

Проверим подстановкой:

При \( x = -7 \): \( |-7-3| |-7+7| - |-7+7| |-7-8| = |-10| · 0 - 0 · |-15| = 0 - 0 = 0 \). Верно.

При \( x = 5.5 \): \( |5.5-3| |5.5+7| - |5.5+7| |5.5-8| = |2.5| |12.5| - |12.5| |-2.5| = 2.5 · 12.5 - 12.5 · 2.5 = 0 \). Верно.

Ответ: \( x = -7 \), \( x = 5.5 \).