x² – 3x – 4 ≥ 0 ?

Чтобы решить это неравенство, нам нужно найти корни квадратного уравнения x² – 3x – 4 = 0. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта или разложить на множители.

1. Разложение на множители:

Ищем два числа, произведение которых равно -4, а сумма равна -3. Эти числа -4 и 1.

Значит, неравенство можно записать так:

2. Корни уравнения:

Приравниваем каждый множитель к нулю:

• x - 4 = 0 => x = 4
• x + 1 = 0 => x = -1

Теперь у нас есть две точки на числовой оси: -1 и 4. Они делят ось на три интервала:

• (-∞, -1]
• [-1, 4]
• [4, +∞)

3. Проверка интервалов:

Подставим любое число из каждого интервала в исходное неравенство (x - 4)(x + 1) ≥ 0:

• Интервал (-∞, -1]: Возьмем x = -2.(-2 - 4)(-2 + 1) = (-6)(-1) = 6. 6 ≥ 0 (верно).
• Интервал [-1, 4]: Возьмем x = 0.(0 - 4)(0 + 1) = (-4)(1) = -4. -4 ≥ 0 (неверно).
• Интервал [4, +∞): Возьмем x = 5.(5 - 4)(5 + 1) = (1)(6) = 6. 6 ≥ 0 (верно).

4. Вывод:

Неравенство верно для интервалов (-∞, -1] и [4, +∞). Включаем -1 и 4, так как неравенство нестрогое (≥).

Ответ: x ∈ (-∞, -1] ∪ [4, +∞)