x^4 - 2x^2 + 1 = 0

Решение:

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - 2y + 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( y \). Решим его:

1. Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \]
2. Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень: \[ y = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = x^2 \):

\[ x^2 = 1 \]

Решим это уравнение:

\[ x = \pm\sqrt{1} \]

Таким образом, получаем два корня:

\[ x_1 = 1 \], \[ x_2 = -1 \]

Альтернативное решение:

Заметим, что уравнение \( x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \) можно свернуть по формуле квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):

\[ (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = 0 \]\[ (x^2 - 1)^2 = 0 \]

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\[ x^2 - 1 = 0 \]\[ x^2 = 1 \]\[ x = \pm\sqrt{1} \]\[ x_1 = 1 \], \[ x_2 = -1 \]

Ответ: x = 1, x = -1.