x^4 = (x - 20)^2

Решение:

Данное уравнение можно решить, раскрыв квадрат и приведя его к биквадратному уравнению, или заметив, что обе части уравнения являются квадратами.

1. Способ 1: Раскрытие скобок и приведение к биквадратному уравнению
   Раскроем квадрат справа: \( (x - 20)^2 = x^2 - 40x + 400 \).
   Уравнение примет вид: \( x^4 = x^2 - 40x + 400 \).
   Перенесём всё в одну сторону: \( x^4 - x^2 + 40x - 400 = 0 \).
   Это уравнение сложнее для решения без дополнительных методов.
2. Способ 2: Замена переменной
   Заметим, что \( x^4 = (x^2)^2 \).
   Тогда уравнение можно переписать как \( (x^2)^2 = (x - 20)^2 \).
   Извлечём квадратный корень из обеих частей:
   \( x^2 = ±(x - 20) \).
   Получаем два случая:
   
   Случай 1: \( x^2 = x - 20 \)
   Переносим всё в одну сторону: \( x^2 - x + 20 = 0 \).
   Вычислим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 · 1 · 20 = 1 - 80 = -79 \).
   Так как \( D < 0 \), этот случай не имеет действительных корней.
   
   Случай 2: \( x^2 = -(x - 20) \)
   \( x^2 = -x + 20 \)
   Переносим всё в одну сторону: \( x^2 + x - 20 = 0 \).
   Вычислим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 · 1 · (-20) = 1 + 80 = 81 \).
   Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
   Найдём корни:
   \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
   \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Ответ: x₁ = 4, x₂ = -5.