(x-5)^2 < √7(x-5)

Привет! Давай разберемся с этим неравенством вместе.

У нас есть неравенство: (x-5)^2 < √7(x-5)

Первым делом, перенесем всё в левую часть, чтобы получить ноль справа:

\[ (x-5)^2 - √7(x-5) < 0 \]

Теперь заметим, что у нас есть общий множитель (x-5). Вынесем его за скобки:

\[ (x-5) \big( (x-5) - √7 \big) < 0 \]

Раскроем скобки внутри второго множителя:

\[ (x-5) (x - 5 - √7) < 0 \]

Теперь нам нужно найти корни этого выражения, приравняв каждый множитель к нулю:

1. x - 5 = 0 → x = 5
2. x - 5 - √7 = 0 → x = 5 + √7

Получилось два корня: 5 и 5 + √7. На числовой прямой отметим эти точки. Помни, что √7 примерно равно 2.65, значит 5 + √7 будет больше, чем 5.

Теперь определим знаки нашего выражения (x-5)(x - 5 - √7) на интервалах, которые образовались:

• Интервал x < 5: Возьмем, например, x = 0. Тогда (0-5)(0 - 5 - √7) = (-5)(-5 - √7). Оба множителя отрицательные, значит результат положительный (+).
• Интервал 5 < x < 5 + √7: Возьмем, например, x = 6 (так как 5 < 6 < 5 + 2.65). Тогда (6-5)(6 - 5 - √7) = (1)(1 - √7). Первый множитель положительный, второй отрицательный (1 - 2.65 = -1.65). Результат отрицательный (-).
• Интервал x > 5 + √7: Возьмем, например, x = 10. Тогда (10-5)(10 - 5 - √7) = (5)(5 - √7). Оба множителя положительные. Результат положительный (+).

Нам нужно найти, где выражение меньше нуля (< 0). Это интервал (5; 5 + √7).

Ответ: (5; 5 + √7)