x² = (√6 + 2√5 - √6 - 2√5)²

Решение:

Данное выражение представляет собой квадрат разности двух чисел. Для начала упростим выражение внутри скобок:

\( \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}} \)

Рассмотрим подкоренные выражения. Мы можем попытаться представить их в виде квадрата суммы или разности:

\( 6 + 2\sqrt{5} = 5 + 1 + 2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + 1^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 = (\sqrt{5} + 1)^2 \)

\( 6 - 2\sqrt{5} = 5 + 1 - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 + 1^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 = (\sqrt{5} - 1)^2 \)

Теперь подставим это обратно в выражение:

\( \sqrt{( \sqrt{5} + 1 )^2} - \sqrt{( \sqrt{5} - 1 )^2} \)

Поскольку \( \sqrt{a^2} = |a| \), мы получаем:

\( |\sqrt{5} + 1| - |\sqrt{5} - 1| \)

Так как \( \sqrt{5} + 1 > 0 \) и \( \sqrt{5} - 1 > 0 \) (так как \( \sqrt{5} \approx 2.23 \)), модули можно убрать:

\( (\sqrt{5} + 1) - (\sqrt{5} - 1) \)

Раскроем скобки:

\( \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1 \)

Слагаемые \( \sqrt{5} \) и \( -\sqrt{5} \) взаимно уничтожаются:

\( 1 + 1 = 2 \)

Теперь подставим полученное значение обратно в исходное уравнение:

\( x^2 = (2)^2 \)

\( x^2 = 4 \)

Таким образом, \( x = \pm 2 \). Однако, в задании просят найти значение \( x^2 \), которое мы уже вычислили.

Ответ: x² = 4.