(x-7)^2 < \(\sqrt{11}\)(x-7) .

Решение:

Перенесём все члены неравенства в одну сторону:

\[ (x-7)^2 - \sqrt{11}(x-7) < 0 \]

Вынесем общий множитель \( (x-7) \) за скобки:

\[ (x-7) \left( (x-7) - \sqrt{11} \right) < 0 \]\[ (x-7)(x - 7 - \sqrt{11}) < 0 \]

Теперь найдём корни уравнения \( (x-7)(x - 7 - \sqrt{11}) = 0 \). Корни:

\[ x_1 = 7 \]\[ x_2 = 7 + \sqrt{11} \]

Отметим эти корни на числовой прямой. Получим интервалы:

\[ (-\infty; 7) \quad (7; 7+\sqrt{11}) \quad (7+\sqrt{11}; +\infty) \]

Проверим знаки выражений на каждом интервале. Возьмём, например, точку \( x=0 \) из первого интервала:

\[ (0-7)(0-7-\sqrt{11}) = (-7)(-7-\sqrt{11}) = 49 + 7\sqrt{11} > 0 \]

Возьмём точку \( x = 7.1 \) (так как \( \sqrt{11} \approx 3.3 \), то \( 7 + \sqrt{11} \approx 10.3 \) ):

\[ (7.1-7)(7.1 - 7 - \sqrt{11}) = (0.1)(0.1 - \sqrt{11}) \]Так как \( 0.1 < \sqrt{11} \), то \( 0.1 - \sqrt{11} < 0 \). Следовательно, \( (0.1)(0.1 - \sqrt{11}) < 0 \).

Возьмём точку \( x=11 \):

\[ (11-7)(11 - 7 - \sqrt{11}) = (4)(4 - \sqrt{11}) \]Так как \( 4 > \sqrt{11} \), то \( 4 - \sqrt{11} > 0 \). Следовательно, \( (4)(4 - \sqrt{11}) > 0 \).

Неравенство \( (x-7)(x - 7 - \sqrt{11}) < 0 \) выполняется на интервале \( (7; 7+\sqrt{11}) \).

Ответ: \( x \in (7; 7+\sqrt{11}) \).