x² - 7x + 12 ≥ 0?

Решение:

Для решения неравенства \( x^2 - 7x + 12 \ge 0 \) найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 7x + 12 = 0 \).

1. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \).
2. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
3. Найдём корни по формуле: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
4. \( x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
5. \( x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Полученные корни: 3 и 4. Теперь определим интервалы, на которых парабола \( y = x^2 - 7x + 12 \) (ветви вверх) принимает неотрицательные значения.

• Интервал \( (-\infty, 3] \): Возьмём тестовую точку \( x = 0 \). \( 0^2 - 7 \cdot 0 + 12 = 12 \ge 0 \). Интервал подходит.
• Интервал \( [3, 4] \): Возьмём тестовую точку \( x = 3.5 \). \( (3.5)^2 - 7 \cdot 3.5 + 12 = 12.25 - 24.5 + 12 = -0.25 < 0 \). Интервал не подходит.
• Интервал \( [4, \infty) \): Возьмём тестовую точку \( x = 5 \). \( 5^2 - 7 \cdot 5 + 12 = 25 - 35 + 12 = 2 \ge 0 \). Интервал подходит.

Таким образом, решение неравенства \( x^2 - 7x + 12 \ge 0 \) — это объединение интервалов \( (-\infty, 3] \) и \( [4, \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, 3] \cup [4, \infty) \).