(x-7) (x+2) ≤0. Решите неравенство х²-2x-35

Пошаговое решение:

1. Находим корни числителя:
   \[(x - 7)(x + 2) = 0\]
   \[x = 7, x = -2\]
2. Находим корни знаменателя:
   \[x^2 - 2x - 35 = 0\]
   Дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4(1)(-35) = 4 + 140 = 144\)
   \[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2(1)} = \frac{2 + 12}{2} = 7\]
   \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{144}}{2(1)} = \frac{2 - 12}{2} = -5\]
3. Строим числовую ось и отмечаем корни:
   Отмечаем точки -5, -2 и 7 на числовой оси. Точки -2 и 7 (из числителя) входят в решение, а точки -5 и 7 (из знаменателя) - нет. Точку 7 следует исключить, так как она является корнем как числителя, так и знаменателя, и в этой точке функция не определена.
4. Определяем знаки на интервалах:
   Рассмотрим интервалы: \((-\infty; -5), (-5; -2], [-2; 7), (7; +\infty)\)
   
   • \((-\infty; -5)\): Возьмем \(x = -6\). Тогда \(\frac{(-6-7)(-6+2)}{(-6)^2-2(-6)-35} = \frac{(-)(-)}{(+)} = +\)
   • \((-5; -2]\): Возьмем \(x = -3\). Тогда \(\frac{(-3-7)(-3+2)}{(-3)^2-2(-3)-35} = \frac{(-)(-)}{(-)} = -\)
   • \([-2; 7)\): Возьмем \(x = 0\). Тогда \(\frac{(0-7)(0+2)}{(0)^2-2(0)-35} = \frac{(-)(+)}{(-)} = +\)
   • \((7; +\infty)\): Возьмем \(x = 8\). Тогда \(\frac{(8-7)(8+2)}{(8)^2-2(8)-35} = \frac{(+)(+)}{(+)} = +\)
5. Выбираем интервалы, где функция меньше или равна нулю:
   Функция меньше или равна нулю на интервале \((-5; -2]\).

Ответ: \(x \in (-5; -2]\)