4) x_n = \sqrt[3]{n^3 + 2n} - n.

Смотри, тут всё просто: нужно избавиться от кубического корня. Для этого воспользуемся формулой разности кубов.

Пошаговое решение:

1. Умножим и разделим на \( \sqrt[3]{(n^3 + 2n)^2} + n\sqrt[3]{n^3 + 2n} + n^2 \):

\[x_n = \frac{(\sqrt[3]{n^3 + 2n} - n)(\sqrt[3]{(n^3 + 2n)^2} + n\sqrt[3]{n^3 + 2n} + n^2)}{\sqrt[3]{(n^3 + 2n)^2} + n\sqrt[3]{n^3 + 2n} + n^2}\]\[x_n = \frac{(\sqrt[3]{n^3 + 2n})^3 - n^3}{\sqrt[3]{(n^3 + 2n)^2} + n\sqrt[3]{n^3 + 2n} + n^2}\]\[x_n = \frac{n^3 + 2n - n^3}{\sqrt[3]{(n^3 + 2n)^2} + n\sqrt[3]{n^3 + 2n} + n^2}\]\[x_n = \frac{2n}{\sqrt[3]{(n^3 + 2n)^2} + n\sqrt[3]{n^3 + 2n} + n^2}\]

2. Разделим числитель и знаменатель на n²:

\[x_n = \frac{\frac{2n}{n^2}}{\frac{\sqrt[3]{(n^3 + 2n)^2}}{n^2} + \frac{n\sqrt[3]{n^3 + 2n}}{n^2} + \frac{n^2}{n^2}}\]\[x_n = \frac{\frac{2}{n}}{\sqrt[3]{\frac{(n^3 + 2n)^2}{n^6}} + \sqrt[3]{\frac{n^3 + 2n}{n^3}} + 1}\]\[x_n = \frac{\frac{2}{n}}{\sqrt[3]{(\frac{n^3}{n^3} + \frac{2n}{n^3})^2} + \sqrt[3]{\frac{n^3}{n^3} + \frac{2n}{n^3}} + 1}\]\[x_n = \frac{\frac{2}{n}}{\sqrt[3]{(1 + \frac{2}{n^2})^2} + \sqrt[3]{1 + \frac{2}{n^2}} + 1}\]

3. Найдем предел при n → ∞:

\[\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n}}{\sqrt[3]{(1 + \frac{2}{n^2})^2} + \sqrt[3]{1 + \frac{2}{n^2}} + 1}\]\[\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{0}{\sqrt[3]{(1 + 0)^2} + \sqrt[3]{1 + 0} + 1} = \frac{0}{1 + 1 + 1} = 0\]

Ответ: \(\lim_{n \to \infty} x_n = 0\)