XA1, YA3 =

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам дан куб, и нужно найти длины отрезков \( XA_1 \) и \( YA_3 \). Из условия задачи и рисунка видно, что \( A_1M:MB_1 = A_3N:NB_3 = 1:3 \). Для начала определим, что \( X \) и \( Y \) - это точки пересечения секущей плоскости с продолжениями рёбер куба.

Предположим, что ребро куба равно \( a \). Тогда \( A_1M = \frac{1}{4}a \) и \( A_3N = \frac{1}{4}a \).

Рассмотрим треугольник \( XA_1A_2 \). Так как \( A_1M \) является частью секущей плоскости, а \( A_2M \) также лежит в этой плоскости, то точка \( X \) лежит на продолжении ребра \( A_1A_2 \).

По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике, если прямая пересекает две стороны треугольника и параллельна третьей стороне, то она делит эти стороны на пропорциональные отрезки. В нашем случае, можно сказать, что \( \frac{XA_1}{A_1A_2} = \frac{A_1M}{MB_1} \).

Подставляя известные значения, получаем \( \frac{XA_1}{a} = \frac{\frac{1}{4}a}{\frac{3}{4}a} = \frac{1}{3} \). Отсюда \( XA_1 = \frac{1}{3}a \).

Аналогично, рассмотрим треугольник \( YA_3A_4 \). \( A_3N \) является частью секущей плоскости, и \( A_4N \) тоже лежит в этой плоскости. Значит, точка \( Y \) лежит на продолжении ребра \( A_3A_4 \).

Снова используем теорему о пропорциональных отрезках: \( \frac{YA_3}{A_3A_4} = \frac{A_3N}{NB_3} \).

Подставляя известные значения, получаем \( \frac{YA_3}{a} = \frac{\frac{1}{4}a}{\frac{3}{4}a} = \frac{1}{3} \). Следовательно, \( YA_3 = \frac{1}{3}a \).

Ответ: 1/3a, 1/3a