X 19:50 9/9 122 КП-5. ГОДОВАЯ КО Вариант А1 РАБОТА LTE 24 0 Вариант А2 ... B A C D Дано: ВО = DO; ∠ABC = 45°; ∠BCD = 55°; ZAOC 100°. Найти: ∠D. Доказать: ДАBO = ACDO. 2 В равнобедренном треуголь- нике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найдите два других угла треугольни- ка АВС. 3 Точки В и Д лежат в разных полуплоскостях относитель- но прямой АС. Треугольники АВС и ADC равносторонние. Докажите, что АВ || CD. A B C Дано: АВ = CD; ∠ABC = ZADC = 45°; ∠AOC = 110°. Найти: С. Доказать: ДАВО = ADCO. 2 D A Дано: В = 20 LADC Доказать: ДА 65°. В равнобедр нике угол м сторонами угла при ос те углы тре 3 Параллельн ными секу В равнобедренном треуголь пересечены нике АВС с основанием АС сумма углов А И С равна причем точ 156°. Найдите углы треуголь ника АВС. 3 Точки В и D лежат в раз- ных полуплоскостях отно- сительно прямой АС. Тре- угольники АВС и ADC рав нобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Докажите, что АВ || CD. лежат пря и D что АС = В Вариа 0 B A пря Альбини Евгеньева 11:12

Вариант A1

1. Дано: BO = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100°.

   Найти: ∠D.

   Доказать: △ABO = △CDO.

   Решение:

   Рассмотрим четырехугольник ABCD. ∠AOC = 100° (данные задачи). Значит, ∠BOD = 100° (вертикальные углы).

   Сумма углов четырехугольника равна 360°, тогда ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.

   Выразим сумму углов ∠CDA + ∠DAB = 360° - ∠ABC - ∠BCD = 360° - 45° - 55° = 260°.

   Рассмотрим треугольники △ABO и △CDO: BO = DO (дано), ∠AOB = ∠COD (вертикальные).

   Для равенства треугольников необходимо, чтобы AO = CO. Треугольники могут быть и не равны.

   Чтобы найти ∠D, нужно больше данных или условий.

   Ответ: Недостаточно данных для определения ∠D.

2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 42°. Найдите два других угла треугольника ABC.

   Решение:

   В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть ∠A и ∠C - углы при основании AC.

   Сумма углов в треугольнике равна 180°, тогда ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

   ∠A + ∠C = 180° - ∠B = 180° - 42° = 138°.

   Т.к. ∠A = ∠C, то ∠A = ∠C = 138° / 2 = 69°.

   Ответ: ∠A = 69°, ∠C = 69°.

3. Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. Треугольники ABC и ADC равносторонние. Докажите, что AB || CD.

   Решение:

   Так как ABC и ADC равносторонние треугольники, все их углы равны 60°.

   ∠BAC = ∠DCA = 60°.

   Углы BAC и DCA являются накрест лежащими углами при прямых AB и CD и секущей AC. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

   Следовательно, AB || CD.

   Ответ: AB || CD (доказано).

Вариант A2

1. Дано: AB = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110°.

   Найти: ∠C.

   Доказать: △ABO = △DCO.

   Решение:

   Для решения этой задачи недостаточно данных, чтобы однозначно определить ∠C или доказать равенство треугольников △ABO и △DCO.

   Чтобы найти ∠C, требуется дополнительная информация.

   Ответ: Недостаточно данных для определения ∠C.

2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC сумма углов A и C равна 156°. Найдите углы треугольника ABC.

   Решение:

   Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то ∠A = ∠C.

   Если ∠A + ∠C = 156°, то ∠A = ∠C = 156° / 2 = 78°.

   Сумма углов в треугольнике равна 180°, тогда ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 156° = 24°.

   Ответ: ∠A = 78°, ∠C = 78°, ∠B = 24°.

3. Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. Треугольники ABC и ADC равнобедренные прямоугольные (∠B = ∠D = 90°). Докажите, что AB || CD.

   Решение:

   В прямоугольных треугольниках ABC и ADC углы ∠B = ∠D = 90°.

   Поскольку треугольники равнобедренные, то ∠BAC = ∠BCA = (180° - 90°) / 2 = 45°.

   Аналогично, ∠DCA = ∠DAC = (180° - 90°) / 2 = 45°.

   ∠BAC и ∠DCA - накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей AC. Так как ∠BAC = ∠DCA = 45°, то AB || CD.

   Ответ: AB || CD (доказано).