XVI. Одну сторону прямоугольника увеличили в 3 раза, а другую уменьшили в 2 раза, получили квадрат. Чему равна сторона квадрата, если площадь прямоугольника равна 54 см²?

Пусть стороны исходного прямоугольника равны \(a\) и \(b\). После изменений получили стороны \(3a\) и \(\frac{b}{2}\). Так как образовался квадрат, \(3a=\frac{b}{2}\), откуда \(b=6a\).

Площадь исходного прямоугольника: \(ab=54\). Подставим \(b=6a\): \(6a^2=54\), поэтому \(a^2=9\) и \(a=3\) см (длина положительна). Тогда \(b=18\) см. Сторона полученного квадрата равна \(3a=9\) см.

Ответ: 9 см.