XVIII. Перед гномом Ториным лежат три кучки бриллиантов: в первой кучке 17 бриллиантов, во второй — 21 бриллиант, в третьей — 27 бриллиантов. Среди этих бриллиантов ровно один фальшивый. Все бриллианты имеют одинаковый вид, все настоящие бриллианты весят одинаково, а фальшивый отличается от них по весу, но неизвестно в какую сторону. У Торина есть чашечные весы без гирь. Торину надо за одно взвешивание найти кучку, в которой все бриллианты настоящие. Как это сделать?

Пронумеруем кучки: 1-я содержит 17, 2-я — 21, 3-я — 27 бриллиантов.

На одну чашу весов положим 1 бриллиант из первой кучки и 2 бриллианта из второй, а на другую — 3 бриллианта из третьей. Если все выбранные камни настоящие, чаши уравновесятся, так как \(1+2=3\) и масса каждого настоящего бриллианта одинакова.

Если равновесия нет, фальшивый находится среди взятых бриллиантов, то есть в первой, второй или третьей кучке. Если весы уравновесились, фальшивый находится среди оставшихся бриллиантов первой, второй или третьей кучки, поэтому по одному взвешиванию определить полностью настоящую кучку таким способом нельзя.

Следовательно, при данных условиях задача в указанной формулировке неразрешима за одно взвешивание: результат взвешивания имеет только три исхода (левая чаша тяжелее, правая тяжелее, равновесие), а возможны три варианта расположения фальшивого камня, но неизвестное направление отличия по весу делает первые два исхода неоднозначными. Более того, при равновесии фальшивый может находиться в любой из трёх кучек среди не взятых камней.

Ответ: за одно взвешивание гарантированно найти такую кучку невозможно; условие задачи, вероятно, содержит опечатку или требует дополнительного ограничения.