Решение уравнения

Для решения данного уравнения введем новую переменную. Пусть

$$t = \frac{x+2}{x}$$

Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + \frac{1}{t^2} = 4.25$$

Умножим обе части уравнения на $$t^2$$:

$$t^4 + 1 = 4.25t^2$$

Перенесем все члены в левую часть:

$$t^4 - 4.25t^2 + 1 = 0$$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$$4t^4 - 17t^2 + 4 = 0$$

Пусть $$y = t^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$4y^2 - 17y + 4 = 0$$

Решим квадратное уравнение для $$y$$. Дискриминант равен:

$$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$$

Тогда корни:

$$y_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$$ $$y_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Возвращаемся к переменной $$t$$:

1. Если $$y = 4$$, то $$t^2 = 4$$. Значит, $$t = \pm 2$$.
2. Если $$y = \frac{1}{4}$$, то $$t^2 = \frac{1}{4}$$. Значит, $$t = \pm \frac{1}{2}$$.

Теперь решим уравнения для $$x$$:

1. Если $$t = 2$$, то $$\frac{x+2}{x} = 2$$. Отсюда $$x+2 = 2x$$, следовательно $$x = 2$$.
2. Если $$t = -2$$, то $$\frac{x+2}{x} = -2$$. Отсюда $$x+2 = -2x$$, следовательно $$3x = -2$$, и $$x = -\frac{2}{3}$$.
3. Если $$t = \frac{1}{2}$$, то $$\frac{x+2}{x} = \frac{1}{2}$$. Отсюда $$2(x+2) = x$$, следовательно $$2x+4 = x$$, и $$x = -4$$.
4. Если $$t = -\frac{1}{2}$$, то $$\frac{x+2}{x} = -\frac{1}{2}$$. Отсюда $$2(x+2) = -x$$, следовательно $$2x+4 = -x$$, и $$3x = -4$$, и $$x = -\frac{4}{3}$$.

Ответ: $$x = 2, x = -\frac{2}{3}, x = -4, x = -\frac{4}{3}$$