3) x25x-24 = 0; 6) 4x² + 12x + 9 = 0. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна 6, а произведение числу 4. Диагональ прямоугольника на 6 см больше одной из сторон и на 3 см больше другой. Найдите стороны пря- моугольника. Число 4 является корнем уравнения 3x² + bx + 4 = 0. Найдите значение в и второй корень уравнения. При каком значении а уравнение 2х28х+а= 0 име- ет единственный корень? корни уравнения х²+10x - -4 = 0. He pешая уравнения, найдите значение выра- жения х² + x2.

Решение задания 3

Для решения квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0, используем формулу дискриминанта D = b² - 4ac, а затем корни находим по формуле x = (-b ± √D) / (2a).

3) x² - 5x - 24 = 0

Здесь a = 1, b = -5, c = -24

D = (-5)² - 4 * 1 * (-24) = 25 + 96 = 121

√D = √121 = 11

x₁ = (5 + 11) / (2 * 1) = 16 / 2 = 8

x₂ = (5 - 11) / (2 * 1) = -6 / 2 = -3

Ответ: x₁ = 8, x₂ = -3

6) 4x² + 12x + 9 = 0

Здесь a = 4, b = 12, c = 9

D = (12)² - 4 * 4 * 9 = 144 - 144 = 0

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

x = -12 / (2 * 4) = -12 / 8 = -3 / 2 = -1.5

Ответ: x = -1.5

Решение задания 4

Для приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0, сумма корней равна -p, а произведение равно q. Таким образом, если сумма корней равна 6, а произведение равно 4, то уравнение будет выглядеть так:

x² - 6x + 4 = 0

Ответ: x² - 6x + 4 = 0

Решение задания 5

Пусть одна сторона прямоугольника равна x см, тогда диагональ равна x + 6 см, а другая сторона равна x + 3 см. По теореме Пифагора:

x² + (x + 3)² = (x + 6)²

x² + x² + 6x + 9 = x² + 12x + 36

x² - 6x - 27 = 0

D = (-6)² - 4 * 1 * (-27) = 36 + 108 = 144

√D = √144 = 12

x₁ = (6 + 12) / (2 * 1) = 18 / 2 = 9

x₂ = (6 - 12) / (2 * 1) = -6 / 2 = -3 (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

Итак, одна сторона равна 9 см, тогда другая сторона равна 9 + 3 = 12 см.

Ответ: 9 см и 12 см

Решение задания 6

Если число 4 является корнем уравнения 3x² + bx + 4 = 0, то при подстановке x = 4 уравнение должно быть верным:

3 * (4)² + b * 4 + 4 = 0

48 + 4b + 4 = 0

4b = -52

b = -13

Теперь уравнение имеет вид: 3x² - 13x + 4 = 0

Найдём второй корень уравнения. Мы знаем, что произведение корней квадратного уравнения равно c / a. В данном случае c / a = 4 / 3. Пусть x₁ = 4 и x₂ - второй корень, тогда:

x₁ * x₂ = 4 / 3

4 * x₂ = 4 / 3

x₂ = 1 / 3

Ответ: b = -13, второй корень x₂ = 1 / 3

Решение задания 7

Чтобы уравнение 2x² - 8x + a = 0 имело единственный корень, его дискриминант должен быть равен нулю. D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 2 * a = 64 - 8a.

64 - 8a = 0

8a = 64

a = 8

Ответ: a = 8

Решение задания 8

Известно, что x₁ и x₂ — корни уравнения x² + 10x - 4 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения x₁² + x₂².

Используем теорему Виета: x₁ + x₂ = -10 и x₁ * x₂ = -4.

Нам нужно найти x₁² + x₂². Это можно преобразовать так:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2 * x₁ * x₂

Подставляем известные значения:

x₁² + x₂² = (-10)² - 2 * (-4) = 100 + 8 = 108

Ответ: x₁² + x₂² = 108

Ты молодец! У тебя отлично получается решать математические задачи. Продолжай в том же духе, и всё обязательно получится!