XXI. На полянке собрались божьи коровки. Если у божьей коровки на спине 6 точек, то она всегда говорит правду, а если 4 – то она всегда лжёт, а других божьих коровок на полянке не было. Первая божья коровка сказала: «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине». Вторая сказала: «У всех вместе на спинах 30 точек». «Нет, у всех вместе 26 точек на спинах», – возразила третья. «Из этих троих ровно одна сказала правду», – заявила каждая из остальных божьих коровок. Сколько всего божьих коровок собралось на полянке?

Решение:

Обозначим божьих коровок, которые говорят правду, буквой 'П', а тех, кто лжёт, буквой 'Л'.

Условие задачи гласит:

• Коровка с 6 точками говорит правду.
• Коровка с 4 точками лжёт.

Пусть N — общее количество божьих коровок на полянке.

Анализ высказываний:

1. Первая божья коровка сказала: «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине».
• Если бы эта коровка была 'П' (6 точек), то все остальные тоже должны были бы иметь 6 точек.
• Если бы эта коровка была 'Л' (4 точки), то все остальные должны были бы иметь 4 точки.
• Если бы у всех было по 6 точек, то первая коровка сказала бы правду.
• Если бы у всех было по 4 точки, то первая коровка солгала бы.
2. Вторая божья коровка сказала: «У всех вместе на спинах 30 точек».
3. Третья божья коровка сказала: «Нет, у всех вместе 26 точек на спинах».

Ключевое условие: «Из этих троих ровно одна сказала правду»

Рассмотрим возможные варианты истины/лжи для первых трёх коровок:

Вариант 1: Первая 'П' (6 точек), вторая 'Л' (4 точки), третья 'Л' (4 точки).

• Если первая 'П', то все коровки имеют по 6 точек. Тогда общее число точек равно \( N \times 6 \).
• По условию, у всех вместе 30 или 26 точек.
• \( N \times 6 = 30 \Rightarrow N = 5 \).
• \( N \times 6 = 26 \) — невозможно, так как 26 не делится на 6.
• Итак, если первая 'П', то \( N = 5 \), и у всех по 6 точек.
• Проверим высказывания:
• Первая ('П', 6 точек): «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине» — Правда.
• Вторая ('Л', 6 точек, но она должна врать): «У всех вместе на спинах 30 точек» — Правда (5 * 6 = 30). Это противоречит тому, что вторая коровка — 'Л'.

Вариант 2: Первая 'Л' (4 точки), вторая 'П' (6 точек), третья 'Л' (4 точки).

• Если вторая 'П', то у неё 6 точек.
• Если первая 'Л' (4 точки), то у неё 4 точки.
• Если третья 'Л' (4 точки), то у неё 4 точки.
• Высказывание первой ('Л'): «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине» — Ложь. Это значит, что точки не у всех одинаковые. Это соответствует тому, что у первой 4 точки, а у второй 6.
• Высказывание второй ('П', 6 точек): «У всех вместе на спинах 30 точек».
• Высказывание третьей ('Л', 4 точки): «У всех вместе 26 точек на спинах».
• Пусть k — количество коровок с 6 точками, и m — количество коровок с 4 точками.
• Общее количество коровок \( N = k + m \).
• Общее количество точек = \( 6k + 4m \).
• По условию, вторая коровка ('П') говорит правду: \( 6k + 4m = 30 \).
• По условию, третья коровка ('Л') лжёт: \( 6k + 4m \neq 26 \). Это условие выполняется, так как \( 6k + 4m = 30 \).
• Первая коровка ('Л') лжёт: «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине». Это означает, что \( k \neq N \) и \( m \neq N \) (то есть есть и с 6, и с 4 точками).
• Нам нужно найти k и m для \( 6k + 4m = 30 \) и \( N = k + m \), где \( k \geq 1, m \geq 1 \).
• Если \( k = 1 \), то \( 6 + 4m = 30 \Rightarrow 4m = 24 \Rightarrow m = 6 \). Тогда \( N = 1 + 6 = 7 \).
• Проверим: \( k=1, m=6 \Rightarrow N=7 \).
• Первая ('Л', 4 точки): «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине» — Ложь (есть 6 и 4).
• Вторая ('П', 6 точек): «У всех вместе на спинах 30 точек» — Правда (1 * 6 + 6 * 4 = 6 + 24 = 30).
• Третья ('Л', 4 точки): «У всех вместе 26 точек на спинах» — Ложь (30 ≠ 26).
• Условие «Из этих троих ровно одна сказала правду» выполнено (только вторая сказала правду).
• Если \( k = 2 \), то \( 12 + 4m = 30 \Rightarrow 4m = 18 \) — невозможно.
• Если \( k = 3 \), то \( 18 + 4m = 30 \Rightarrow 4m = 12 \Rightarrow m = 3 \). Тогда \( N = 3 + 3 = 6 \).
• Проверим: \( k=3, m=3 \Rightarrow N=6 \).
• Первая ('Л', 4 точки): «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине» — Ложь (есть 6 и 4).
• Вторая ('П', 6 точек): «У всех вместе на спинах 30 точек» — Правда (3 * 6 + 3 * 4 = 18 + 12 = 30).
• Третья ('Л', 4 точки): «У всех вместе 26 точек на спинах» — Ложь (30 ≠ 26).
• Условие «Из этих троих ровно одна сказала правду» выполнено (только вторая сказала правду).
• Если \( k = 4 \), то \( 24 + 4m = 30 \Rightarrow 4m = 6 \) — невозможно.
• Если \( k = 5 \), то \( 30 + 4m = 30 \Rightarrow 4m = 0 \Rightarrow m = 0 \). Это противоречит тому, что первая коровка 'Л' (4 точки), значит, есть коровы с 4 точками.

Вариант 3: Первая 'Л' (4 точки), вторая 'Л' (4 точки), третья 'П' (6 точек).

• Третья коровка ('П', 6 точек) сказала правду: «У всех вместе 26 точек на спинах».
• \( 6k + 4m = 26 \).
• \( N = k + m \).
• Первая ('Л', 4 точки) солгала: «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине» (т.е. \( k \geq 1 \) и \( m \geq 1 \)).
• Вторая ('Л', 4 точки) солгала: «У всех вместе на спинах 30 точек» (т.е. \( 6k + 4m \neq 30 \)). Это условие выполняется, так как \( 6k + 4m = 26 \).
• Найдем k и m для \( 6k + 4m = 26 \) и \( k \geq 1, m \geq 1 \).
• Если \( k = 1 \), то \( 6 + 4m = 26 \Rightarrow 4m = 20 \Rightarrow m = 5 \). Тогда \( N = 1 + 5 = 6 \).
• Проверим: \( k=1, m=5 \Rightarrow N=6 \).
• Первая ('Л', 4 точки): «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине» — Ложь (есть 6 и 4).
• Вторая ('Л', 4 точки): «У всех вместе на спинах 30 точек» — Ложь (26 ≠ 30).
• Третья ('П', 6 точек): «У всех вместе 26 точек на спинах» — Правда (1 * 6 + 5 * 4 = 6 + 20 = 26).
• Условие «Из этих троих ровно одна сказала правду» выполнено (только третья сказала правду).
• Если \( k = 2 \), то \( 12 + 4m = 26 \Rightarrow 4m = 14 \) — невозможно.
• Если \( k = 3 \), то \( 18 + 4m = 26 \Rightarrow 4m = 8 \Rightarrow m = 2 \). Тогда \( N = 3 + 2 = 5 \).
• Проверим: \( k=3, m=2 \Rightarrow N=5 \).
• Первая ('Л', 4 точки): «У нас у каждой одинаковое количество точек на спине» — Ложь (есть 6 и 4).
• Вторая ('Л', 4 точки): «У всех вместе на спинах 30 точек» — Ложь (26 ≠ 30).
• Третья ('П', 6 точек): «У всех вместе 26 точек на спинах» — Правда (3 * 6 + 2 * 4 = 18 + 8 = 26).
• Условие «Из этих троих ровно одна сказала правду» выполнено (только третья сказала правду).
• Если \( k = 4 \), то \( 24 + 4m = 26 \Rightarrow 4m = 2 \) — невозможно.

Рассмотрим высказывание остальных божьих коровок: «Из этих троих ровно одна сказала правду», – заявила каждая из остальных божьих коровок.

Это означает, что все остальные божьи коровки, которых N - 3, солгали. Следовательно, они должны иметь по 4 точки.

Случай 1: N=7, k=1 (6 точек), m=6 (4 точки).

• Первые три: 1 (6 точек), 2 (4 точки), 3 (4 точки).
• Из них одна 'П' (вторая) и две 'Л' (первая, третья). Условие выполнено.
• Остальные \( N-3 = 7-3 = 4 \) коровки должны солгать.
• Но у нас есть 6 коровок с 4 точками.
• Если N=7, k=1 (6 точек), m=6 (4 точки), то:
• Коровка 1 (6т, П): 'У нас у каждой одинаковое кол-во точек' - Правда (с другими 6-точными).
• Коровка 2 (4т, Л): 'У всех вместе 30' - Ложь (1*6+6*4=30).
• Коровка 3 (4т, Л): 'У всех вместе 26' - Ложь (30!=26).
• Но ведь первая коровка не может быть 'П', потому что она в первой тройке.

Случай 2: N=6, k=3 (6 точек), m=3 (4 точки).

• Из этих троек может быть:
• 1 ('П', 6т), 2 ('Л', 4т), 3 ('Л', 4т).
• 1 ('Л', 4т), 2 ('П', 6т), 3 ('Л', 4т).
• 1 ('Л', 4т), 2 ('Л', 4т), 3 ('П', 6т).
• Рассмотрим случай, когда третья коровка 'П' (6 точек), а первые две 'Л' (4 точки).
• \( N = 6 \), \( k = 3 \), \( m = 3 \).
• Коровка 1 (4т, Л): «У нас у каждой одинаковое кол-во точек» - Ложь (есть 6т и 4т).
• Коровка 2 (4т, Л): «У всех вместе 30 точек» - Ложь (18+12=30, но сказано, что это ложь).
• Коровка 3 (6т, П): «У всех вместе 26 точек» - Ложь (30!=26).
• В этом случае все три коровки солгали, что противоречит условию, что одна из них сказала правду.

Случай 3: N=5, k=3 (6 точек), m=2 (4 точки).

• \( N=5 \), \( k=3 \), \( m=2 \).
• Рассмотрим случай, когда третья коровка 'П' (6 точек), а первые две 'Л' (4 точки).
• Коровка 1 (4т, Л): «У нас у каждой одинаковое кол-во точек» - Ложь (есть 6т и 4т).
• Коровка 2 (4т, Л): «У всех вместе 30 точек» - Ложь (3*6+2*4 = 18+8 = 26. 26!=30).
• Коровка 3 (6т, П): «У всех вместе 26 точек» - Правда (3*6+2*4 = 26).
• Условие «Из этих троих ровно одна сказала правду» выполнено (только третья).
• Остальные \( N-3 = 5-3=2 \) коровки должны солгать.
• Мы имеем 2 коровки с 4 точками, и они должны солгать.
• Их высказывание: «Из этих троих ровно одна сказала правду» — это ложь, так как мы показали, что третья сказала правду, а первая и вторая солгали.
• Значит, это возможно.
• У нас 3 коровы с 6 точками (2 из них первые две, третья — 'П') и 2 коровы с 4 точками (которые остались).
• Это означает, что N=5.

Итак, N=5.

Есть 3 коровы с 6 точками и 2 коровы с 4 точками.

Первая (4т, Л): «У всех у нас одинаковое количество точек» — Ложь.

Вторая (4т, Л): «У всех вместе 30 точек» — Ложь (26).

Третья (6т, П): «У всех вместе 26 точек» — Правда.

Две остальные (4т, Л) сказали: «Из этих троих ровно одна сказала правду» — Ложь (так как третья сказала правду).

Всё сходится.

Ответ: Всего на полянке собралось 5 божьих коровок.