16x-254 4-x-5vg N3 Cam √x + √y = 3

\begin{align*} \begin{cases} 16x - 25\sqrt{y} = 0 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \end{cases} \end{align*}

Шаг 1: Выразим \(\sqrt{x}\) через \(\sqrt{y}\) из второго уравнения: \[ \sqrt{x} = 3 - \sqrt{y} \]

Шаг 2: Выразим x через y: \[ x = (3 - \sqrt{y})^2 = 9 - 6\sqrt{y} + y \]

Шаг 3: Подставим выражение для x в первое уравнение: \[ 16(9 - 6\sqrt{y} + y) - 25\sqrt{y} = 0 \] \[ 144 - 96\sqrt{y} + 16y - 25\sqrt{y} = 0 \] \[ 16y - 121\sqrt{y} + 144 = 0 \]

Шаг 4: Сделаем замену переменной: \(t = \sqrt{y}\), тогда \(y = t^2\). Уравнение примет вид: \[ 16t^2 - 121t + 144 = 0 \]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно t: \[ D = (-121)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 144 = 14641 - 9216 = 5425 = 25 \cdot 217 = 5^2 \cdot 217 \] \[ t_1 = \frac{121 + 5\sqrt{217}}{32}, \quad t_2 = \frac{121 - 5\sqrt{217}}{32} \] Так как под корнем должно быть неотрицательное число, получаем: \[ t_1 = \frac{121 + 5\sqrt{217}}{32}, \quad t_2 = \frac{121 - 5\sqrt{217}}{32} \]

Шаг 6: Найдем значения y: \[ y_1 = \left(\frac{121 + 5\sqrt{217}}{32}\right)^2, \quad y_2 = \left(\frac{121 - 5\sqrt{217}}{32}\right)^2 \]

Шаг 7: Найдем значения x, используя \(x = (3 - \sqrt{y})^2\): \[ x_1 = \left(3 - \frac{121 + 5\sqrt{217}}{32}\right)^2, \quad x_2 = \left(3 - \frac{121 - 5\sqrt{217}}{32}\right)^2 \]