x(x-19)(x+8)≤0

Для решения неравенства $$x(x-19)(x+8)≤0$$ необходимо найти нули функции и определить знаки на каждом из интервалов.

1. Найдем нули функции, приравняв каждый множитель к нулю:

• $$x = 0$$
• $$x - 19 = 0 \Rightarrow x = 19$$
• $$x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8$$

2. Отметим полученные значения на числовой прямой:

------------(-8)------------(0)------------(19)------------

3. Определим знаки функции на каждом из интервалов, подставляя значения из каждого интервала в исходное неравенство:

• Интервал $$(-\infty; -8)$$: Возьмем $$x = -9$$. Тогда $$(-9)(-9-19)(-9+8) = (-9)(-28)(-1) < 0$$, функция отрицательна.
• Интервал $$(-8; 0)$$: Возьмем $$x = -1$$. Тогда $$(-1)(-1-19)(-1+8) = (-1)(-20)(7) > 0$$, функция положительна.
• Интервал $$(0; 19)$$: Возьмем $$x = 1$$. Тогда $$(1)(1-19)(1+8) = (1)(-18)(9) < 0$$, функция отрицательна.
• Интервал $$(19; +\infty)$$: Возьмем $$x = 20$$. Тогда $$(20)(20-19)(20+8) = (20)(1)(28) > 0$$, функция положительна.

4. Запишем знаки на числовой прямой:

------(-8)++++++(0)------(19)++++++
       -        +         -         +
------------(-8)------------(0)------------(19)------------

5. Так как нас интересуют значения, при которых $$x(x-19)(x+8)≤0$$, выбираем интервалы, где функция отрицательна или равна нулю. То есть:

$$x \in (-\infty; -8] \cup [0; 19]$$

Ответ: $$x \in (-\infty; -8] \cup [0; 19]$$