x4-8x2-9=0 (x2-4)2 +36=13(x2−4) x² - 7|x| + 6 = 0 x = 5 + 4√x

Решим каждое уравнение по отдельности.

1. Решим уравнение $$x^4 - 8x^2 - 9 = 0$$.

   • Сделаем замену: $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 8t - 9 = 0$$.
   • Решим квадратное уравнение относительно $$t$$. Дискриминант $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$.
   • Корни уравнения: $$t_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9$$, $$t_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1$$.
   • Вернемся к замене: $$x^2 = 9$$ или $$x^2 = -1$$.
   • Из $$x^2 = 9$$ получаем $$x = \pm 3$$. Из $$x^2 = -1$$ получаем, что уравнение не имеет действительных корней.

   Ответ: $$x = \pm 3$$

2. Решим уравнение $$(x^2 - 4)^2 + 36 = 13(x^2 - 4)$$.

   • Сделаем замену: $$t = x^2 - 4$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 + 36 = 13t$$, или $$t^2 - 13t + 36 = 0$$.
   • Решим квадратное уравнение относительно $$t$$. Дискриминант $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25$$.
   • Корни уравнения: $$t_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9$$, $$t_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4$$.
   • Вернемся к замене: $$x^2 - 4 = 9$$ или $$x^2 - 4 = 4$$.
   • Из $$x^2 - 4 = 9$$ получаем $$x^2 = 13$$, тогда $$x = \pm \sqrt{13}$$.
   • Из $$x^2 - 4 = 4$$ получаем $$x^2 = 8$$, тогда $$x = \pm 2\sqrt{2}$$.

   Ответ: $$x = \pm \sqrt{13}, x = \pm 2\sqrt{2}$$

3. Решим уравнение $$x^2 - 7|x| + 6 = 0$$.

   • Сделаем замену: $$t = |x|$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 7t + 6 = 0$$.
   • Решим квадратное уравнение относительно $$t$$. Дискриминант $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$$.
   • Корни уравнения: $$t_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2} = \frac{7 + 5}{2} = 6$$, $$t_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2} = \frac{7 - 5}{2} = 1$$.
   • Вернемся к замене: $$|x| = 6$$ или $$|x| = 1$$.
   • Из $$|x| = 6$$ получаем $$x = \pm 6$$. Из $$|x| = 1$$ получаем $$x = \pm 1$$.

   Ответ: $$x = \pm 6, x = \pm 1$$

4. Решим уравнение $$x = 5 + 4\sqrt{x}$$.

   • Сделаем замену: $$t = \sqrt{x}$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 = 5 + 4t$$, или $$t^2 - 4t - 5 = 0$$.
   • Решим квадратное уравнение относительно $$t$$. Дискриминант $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$.
   • Корни уравнения: $$t_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$$, $$t_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$$.
   • Вернемся к замене: $$\sqrt{x} = 5$$ или $$\sqrt{x} = -1$$.
   • Из $$\sqrt{x} = 5$$ получаем $$x = 25$$. Из $$\sqrt{x} = -1$$ получаем, что уравнение не имеет действительных корней, так как квадратный корень не может быть отрицательным.

   Ответ: $$x = 25$$