x(x-1)(x-2)(x-3) 20 (x + 1)² (x-4)

Для решения данного неравенства необходимо использовать метод интервалов.

1. Найдем нули функции, то есть значения x, при которых числитель равен нулю:

• x = 0
• x - 1 = 0 => x = 1
• x - 2 = 0 => x = 2
• x - 3 = 0 => x = 3

2. Найдем значения x, при которых знаменатель равен нулю (эти точки не входят в решение, так как на ноль делить нельзя):

• (x + 1)⁵ = 0 => x = -1
• x - 4 = 0 => x = 4

3. Отметим все найденные точки на числовой прямой:

     +       -       +       -       +       -       +
------(-1)-----(0)-----(1)-----(2)-----(3)-----(4)-----> x

4. Определим знаки на каждом интервале:

• x < -1: Все скобки отрицательны (x, x-1, x-2, x-3, x-4), (x+1)⁵ - отрицательно. Общий знак: +.
• -1 < x < 0: (x+1)⁵ - положительно, остальные скобки отрицательны. Общий знак: -.
• 0 < x < 1: x - положительный, остальные скобки отрицательны. Общий знак: +.
• 1 < x < 2: x, x - 1 - положительные, остальные скобки отрицательны. Общий знак: -.
• 2 < x < 3: x, x - 1, x - 2 - положительные, остальные скобки отрицательны. Общий знак: +.
• 3 < x < 4: x, x - 1, x - 2, x - 3 - положительные, x - 4 - отрицательное, (x+1)⁵-положительное. Общий знак: -.
• x > 4: Все скобки положительны. Общий знак: +.

5. Выберем интервалы, где функция больше или равна нулю (≥ 0):

• x ∈ (-∞; -1)∪[0; 1]∪[2; 3]∪(4; +∞)

Ответ: x ∈ (-∞; -1)∪[0; 1]∪[2; 3]∪(4; +∞)