xy + y² 4x Найдите значение выражения при х = √3, y = −5,2. 8x x+y

Решение:

Шаг 1: Упростим выражение: \[\frac{xy + y^2}{8x} - \frac{4x}{x+y} = \frac{y(x+y)}{8x} - \frac{4x}{x+y}\] Шаг 2: Приведем к общему знаменателю: \[\frac{y(x+y)^2 - 4x \cdot 8x}{8x(x+y)} = \frac{y(x^2 + 2xy + y^2) - 32x^2}{8x(x+y)}\] Шаг 3: Раскроем скобки: \[\frac{yx^2 + 2xy^2 + y^3 - 32x^2}{8x(x+y)}\] Шаг 4: Подставим значения x = √3 и y = -5.2: \[\frac{-5.2(\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(-5.2)^2 + (-5.2)^3 - 32(\sqrt{3})^2}{8(\sqrt{3})(\sqrt{3}-5.2)}\] Шаг 5: Упростим выражение: \[\frac{-5.2(3) + 2(\sqrt{3})(27.04) - 140.608 - 32(3)}{8(\sqrt{3})(\sqrt{3}-5.2)}\] Шаг 6: Вычислим значения: \[\frac{-15.6 + 54.08\sqrt{3} - 140.608 - 96}{8(\sqrt{3})(\sqrt{3}-5.2)} = \frac{-252.208 + 54.08\sqrt{3}}{8(\sqrt{3})(\sqrt{3}-5.2)}\] Шаг 7: Упростим знаменатель: \[8(\sqrt{3})(\sqrt{3}-5.2) = 8(3 - 5.2\sqrt{3}) = 24 - 41.6\sqrt{3}\] Шаг 8: Получим выражение: \[\frac{-252.208 + 54.08\sqrt{3}}{24 - 41.6\sqrt{3}}\] Шаг 9: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (24 + 41.6√3): \[\frac{(-252.208 + 54.08\sqrt{3})(24 + 41.6\sqrt{3})}{(24 - 41.6\sqrt{3})(24 + 41.6\sqrt{3})}\] Шаг 10: Раскроем скобки в числителе: \[-252.208 \cdot 24 - 252.208 \cdot 41.6\sqrt{3} + 54.08\sqrt{3} \cdot 24 + 54.08\sqrt{3} \cdot 41.6\sqrt{3}\] \[= -6052.992 - 10491.8368\sqrt{3} + 1297.92\sqrt{3} + 2250 \cdot 3\] \[= -6052.992 - 9193.9168\sqrt{3} + 6750.912\] \[= 697.92 - 9193.9168\sqrt{3}\] Шаг 11: Раскроем скобки в знаменателе: \[24^2 - (41.6\sqrt{3})^2 = 576 - 41.6^2 \cdot 3 = 576 - 1730.56 \cdot 3 = 576 - 5191.68 = -4615.68\] Шаг 12: Получим выражение: \[\frac{697.92 - 9193.9168\sqrt{3}}{-4615.68}\] Шаг 13: Разделим числитель и знаменатель на -4615.68: \[\frac{697.92}{-4615.68} - \frac{9193.9168\sqrt{3}}{-4615.68} = -0.1512 + 1.9919\sqrt{3} \approx -0.15 + 1.99 \cdot 1.73 = -0.15 + 3.44 = 3.29\]

Ответ: 3.29