295.1) xy dx = (1 + x²) dy; 2) y² dx + (x - 2) dy = 0; 3) (x²yx²) dy + (y² + xy²) dx = 0; 4) r² du - (2x + 3) dx = 0.

Ответ: Решения дифференциальных уравнений ниже.

1. Уравнение 1: xy dx = (1 + x²) dy

   Разделяем переменные:

   \[\frac{dy}{y} = \frac{x}{1 + x^2} dx\]

   Интегрируем обе части:

   \[\int \frac{dy}{y} = \int \frac{x}{1 + x^2} dx\] \[\ln|y| = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C\] \[y = e^{\frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C} = A\sqrt{1 + x^2}\]

   Ответ: y = A\sqrt{1 + x²}, где A - константа.

2. Уравнение 2: y² dx + (x - 2) dy = 0

   Разделяем переменные:

   \[\frac{dx}{x - 2} = -\frac{dy}{y^2}\]

   Интегрируем обе части:

   \[\int \frac{dx}{x - 2} = -\int \frac{dy}{y^2}\] \[\ln|x - 2| = \frac{1}{y} + C\] \[\frac{1}{y} = \ln|x - 2| - C\] \[y = \frac{1}{\ln|x - 2| - C}\]

   Ответ: y = \frac{1}{\ln|x - 2| - C}, где C - константа.

3. Уравнение 3: (x² - yx²) dy + (y² + xy²) dx = 0

   Выражение можно переписать как:

   \[x^2(x - y)dy + y^2(x + y)dx = 0\]

   Разделим обе части на x²y²:

   \[\frac{x - y}{y^2}dy + \frac{x + y}{x^2}dx = 0\]

   Приведем к виду:

   \[(\frac{x}{y^2}dy + \frac{y}{x^2}dx) - (\frac{1}{y}dy - \frac{1}{x}dx) = 0\] \[d(-\frac{1}{y}x - \frac{1}{x}y) - d(\ln y - \ln x) = 0\]

   Интегрируем обе части:

   \[\int \frac{x}{y^2} dy + \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{1}{x^2} dx + \int \frac{1}{y} dy= C\] \[-\frac{x}{y} - \ln|\frac{x}{y}| = C\]

   Ответ: -\frac{x}{y} - \ln|\frac{x}{y}| = C, где C - константа.

4. Уравнение 4: r² du - (2xu + 3u) dx = 0

   Это уравнение можно переписать как:

   \[r^2 du = (2xu + 3u) dx\] \[r^2 du = u(2x + 3) dx\]

   Разделяем переменные:

   \[\frac{du}{u} = \frac{2x + 3}{r^2} dx\]

   Интегрируем обе части:

   \[\int \frac{du}{u} = \int \frac{2x + 3}{r^2} dx\] \[\ln|u| = \frac{x^2 + 3x}{r^2} + C\] \[u = e^{\frac{x^2 + 3x}{r^2} + C} = A e^{\frac{x^2 + 3x}{r^2}}\]

   Ответ: u = A e^{\frac{x^2 + 3x}{r^2}}, где A - константа.

Ответ: Решения дифференциальных уравнений выше.