Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математикаx+8y-7. 4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств x+y <9, -x<1. 5. Решите систему уравнений Вариант 2 5x-y-9. К-5 (57,8) •1. Решите систему уравнений 3x+y=10, x²- y = 8. •2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диа- гональ равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника. 3. Не выполняя построения, найдите координаты то- чек пересечения параболы у = х² 14 и прямой х+у= 6. 4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств x² + y² < 16. x+y-2 111 5. Решите систему уравнений 3x-y-3.
Ответ:
Привет! Разберём задачи с фото. Поехали!
Вариант 2
1. Решите систему уравнений \[\begin{cases} 3x + y = 10, \\ x^2 - y = 8. \end{cases}\]
Выразим y из первого уравнения:
\[y = 10 - 3x\]Подставим это выражение во второе уравнение:
\[x^2 - (10 - 3x) = 8\] \[x^2 + 3x - 10 = 8\] \[x^2 + 3x - 18 = 0\]Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\] \[x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3\] \[x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]Теперь найдем соответствующие значения y:
Для x = 3:
\[y = 10 - 3 \cdot 3 = 10 - 9 = 1\]Для x = -6:
\[y = 10 - 3 \cdot (-6) = 10 + 18 = 28\]Ответ: (3; 1) и (-6; 28)
2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника.
Пусть стороны прямоугольника a и b. Тогда периметр P = 2(a + b), а по теореме Пифагора \(a^2 + b^2 = d^2\), где d - диагональ.
Составим систему уравнений:
\[\begin{cases} 2(a + b) = 14, \\ a^2 + b^2 = 5^2. \end{cases}\]Из первого уравнения выразим a + b = 7, тогда b = 7 - a. Подставим во второе уравнение:
\[a^2 + (7 - a)^2 = 25\] \[a^2 + 49 - 14a + a^2 = 25\] \[2a^2 - 14a + 24 = 0\] \[a^2 - 7a + 12 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\] \[a_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4\] \[a_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3\]Теперь найдем соответствующие значения b:
Для a = 4:
\[b = 7 - 4 = 3\]Для a = 3:
\[b = 7 - 3 = 4\]Ответ: Стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см.
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы \(y = x^2 - 14\) и прямой \(x + y = 6\).
Выразим y из второго уравнения:
\[y = 6 - x\]Подставим это выражение в первое уравнение:
\[6 - x = x^2 - 14\] \[x^2 + x - 20 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\] \[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4\] \[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5\]Теперь найдем соответствующие значения y:
Для x = 4:
\[y = 6 - 4 = 2\]Для x = -5:
\[y = 6 - (-5) = 6 + 5 = 11\]Ответ: (4; 2) и (-5; 11)
4. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств \[\begin{cases} x^2 + y^2 < 16, \\ x + y > -2. \end{cases}\]
Первое неравенство описывает круг с центром в начале координат и радиусом 4 (без границы). Второе неравенство описывает полуплоскость выше прямой \(x + y = -2\) (без границы).
Множество решений - это область, находящаяся внутри круга и выше прямой.
К сожалению, я не могу нарисовать координатную плоскость.
5. Решите систему уравнений \[\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}, \\ 3x - y = 3. \end{cases}\]
Выразим y из второго уравнения:
\[y = 3x - 3\]Подставим это выражение в первое уравнение:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{3x - 3} = \frac{2}{3}\] \[\frac{1}{x} + \frac{1}{3(x - 1)} = \frac{2}{3}\]Приведем к общему знаменателю:
\[\frac{3(x - 1) + x}{3x(x - 1)} = \frac{2}{3}\] \[\frac{3x - 3 + x}{3x(x - 1)} = \frac{2}{3}\] \[\frac{4x - 3}{3x(x - 1)} = \frac{2}{3}\] \[3(4x - 3) = 2 \cdot 3x(x - 1)\] \[12x - 9 = 6x^2 - 6x\] \[6x^2 - 18x + 9 = 0\] \[2x^2 - 6x + 3 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12\] \[x_1 = \frac{6 + \sqrt{12}}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\] \[x_2 = \frac{6 - \sqrt{12}}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\]Теперь найдем соответствующие значения y:
Для \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\):
\[y_1 = 3 \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{2} - 3 = \frac{9 + 3\sqrt{3} - 6}{2} = \frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}\]Для \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\):
\[y_2 = 3 \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{2} - 3 = \frac{9 - 3\sqrt{3} - 6}{2} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}\]Ответ: \[\left(\frac{3 + \sqrt{3}}{2}; \frac{3 + 3\sqrt{3}}{2}\right)\] и \[\left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}; \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}\right)\]
Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденные решения удовлетворяют исходным уравнениям и неравенствам.
Доп. профит: Читерский прием: Если нужно быстро проверить решение системы уравнений, используй онлайн-калькуляторы или графические инструменты. Это поможет убедиться в правильности ответа и сэкономить время на экзамене или контрольной.
