y2+11>0 при любым х трольная работа по теме "Уравнения и неравенства. Систем нений» 8 класс Вариант 4 кажите неравенство: <+15) +10 > 15x; б) (y - 6)(y+6) + 47 > 0. вестно, что -4 < x < 2. Оцените значение выражения: 1 б) -2х; в) х+3; г) х; д) 2-х; е) 3-5х; ж). 4 2 X шите систему уравнений:а) х² + y² = 20; [x - y = 4, б) xy + y² = 6; ериметр прямоугольника равен 26 м, а его площадь равна 40 м ите стороны прямоугольника.

Задание 1: Укажите неравенство

Рассмотрим каждое из предложенных неравенств:

а) x + 15 + 10 > 15x

б) (y - 6)(y + 6) + 47 > 0

Неравенство (y - 6)(y + 6) + 47 > 0 выглядит следующим образом:

\[(y - 6)(y + 6) + 47 > 0\] \[y^2 - 36 + 47 > 0\] \[y^2 + 11 > 0\]

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \( y^2 \geq 0 \), и следовательно, \( y^2 + 11 > 0 \) всегда верно для любого y.

Ответ: б) (y - 6)(y+6) + 47 > 0

---

Задание 2: Оцените значение выражения

Дано: -4 < x < 2. Необходимо оценить значение выражений:

б) -2x

Умножим неравенство -4 < x < 2 на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются:

\[-4 < x < 2 \Rightarrow (-2) \cdot (-4) > -2x > (-2) \cdot 2 \Rightarrow 8 > -2x > -4 \Rightarrow -4 < -2x < 8\]

Ответ: -4 < -2x < 8

---

в) x + 3

Прибавим 3 к каждой части неравенства -4 < x < 2:

\[-4 < x < 2 \Rightarrow -4 + 3 < x + 3 < 2 + 3 \Rightarrow -1 < x + 3 < 5\]

Ответ: -1 < x + 3 < 5

---

г) \(\frac{1}{4}x\)

Умножим неравенство -4 < x < 2 на \(\frac{1}{4}\):

\[-4 < x < 2 \Rightarrow \frac{1}{4} \cdot (-4) < \frac{1}{4}x < \frac{1}{4} \cdot 2 \Rightarrow -1 < \frac{1}{4}x < \frac{1}{2}\]

Ответ: -1 < \(\frac{1}{4}x\) < \(\frac{1}{2}\)

---

д) 2 - x

Умножим неравенство -4 < x < 2 на -1:

\[-4 < x < 2 \Rightarrow 4 > -x > -2 \Rightarrow -2 < -x < 4\]

Теперь прибавим 2 к каждой части:

\[-2 < -x < 4 \Rightarrow -2 + 2 < 2 - x < 4 + 2 \Rightarrow 0 < 2 - x < 6\]

Ответ: 0 < 2 - x < 6

---

е) 3 - 5x

Умножим неравенство -4 < x < 2 на -5:

\[-4 < x < 2 \Rightarrow 20 > -5x > -10 \Rightarrow -10 < -5x < 20\]

Теперь прибавим 3 к каждой части:

\[-10 < -5x < 20 \Rightarrow -10 + 3 < 3 - 5x < 20 + 3 \Rightarrow -7 < 3 - 5x < 23\]

Ответ: -7 < 3 - 5x < 23

---

ж) \(\frac{1}{x}\)

Так как x меняет знак на интервале (-4; 2), то \(\frac{1}{x}\) не имеет четких границ. Однако, если рассматривать интервалы по отдельности:

Для -4 < x < 0, \(-\infty < \frac{1}{x} < -\frac{1}{4}\)

Для 0 < x < 2, \(\frac{1}{2} < \frac{1}{x} < +\infty\)

Ответ: не имеет четких границ на заданном интервале

---

Задание 3: Решите систему уравнений

а) \( \begin{cases} x - y = 4 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} \)

Выразим x через y из первого уравнения: x = y + 4. Подставим во второе уравнение:

\[(y + 4)^2 + y^2 = 20\] \[y^2 + 8y + 16 + y^2 = 20\] \[2y^2 + 8y - 4 = 0\] \[y^2 + 4y - 2 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y:

\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 16 + 8 = 24\] \[y_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}\]

Тогда:

\[x_1 = -2 + \sqrt{6} + 4 = 2 + \sqrt{6}\] \[x_2 = -2 - \sqrt{6} + 4 = 2 - \sqrt{6}\]

Ответ: (\( 2 + \sqrt{6} \), \( -2 + \sqrt{6} \)) и (\( 2 - \sqrt{6} \), \( -2 - \sqrt{6} \))

---

б) \( \begin{cases} x - y = 4 \\ xy + y^2 = 6 \end{cases} \)

Выразим x через y из первого уравнения: x = y + 4. Подставим во второе уравнение:

\[(y + 4)y + y^2 = 6\] \[y^2 + 4y + y^2 = 6\] \[2y^2 + 4y - 6 = 0\] \[y^2 + 2y - 3 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y:

\[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\] \[y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}\] \[y_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1\] \[y_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3\]

Тогда:

\[x_1 = 1 + 4 = 5\] \[x_2 = -3 + 4 = 1\]

Ответ: (5, 1) и (1, -3)

---

Задание 4: Прямоугольник

Пусть стороны прямоугольника будут a и b. Известно, что периметр равен 26 м, а площадь равна 40 м^2. Тогда имеем систему уравнений:

\[ \begin{cases} 2(a + b) = 26 \\ ab = 40 \end{cases} \]

Из первого уравнения: a + b = 13, тогда a = 13 - b. Подставим во второе уравнение:

\[(13 - b)b = 40\] \[13b - b^2 = 40\] \[b^2 - 13b + 40 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно b:

\[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9\] \[b_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{13 \pm 3}{2}\] \[b_1 = \frac{13 + 3}{2} = 8\] \[b_2 = \frac{13 - 3}{2} = 5\]

Тогда:

\[a_1 = 13 - 8 = 5\] \[a_2 = 13 - 5 = 8\]

Ответ: Стороны прямоугольника равны 5 м и 8 м

Ответ: Решения выше.

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!