y=(\frac{\sqrt{x-1}}{4x+2})'=

Ответ: \[y' = \frac{-6x+5}{2\sqrt{x-1}(4x+2)^2}\]

Пошаговое решение:

1. Применим правило дифференцирования частного: \[(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\]

2. Найдем производную числителя: \[u' = (\sqrt{x-1})' = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}\]

3. Найдем производную знаменателя: \[v' = (4x+2)' = 4\]

4. Подставим найденные производные в формулу производной частного: \[y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x-1}}(4x+2) - \sqrt{x-1} \cdot 4}{(4x+2)^2}\]

5. Упростим выражение в числителе, приведя к общему знаменателю: \[y' = \frac{\frac{(4x+2) - 4 \cdot 2(x-1)}{2\sqrt{x-1}}}{(4x+2)^2} = \frac{4x+2 - 8x + 8}{2\sqrt{x-1}(4x+2)^2} = \frac{-4x+10}{2\sqrt{x-1}(4x+2)^2}\]

6. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: \[y' = \frac{-2x+5}{\sqrt{x-1}(4x+2)^2}\]

7. Домножим числитель и знаменатель на 2 для упрощения: \[y' = \frac{-2x+5}{\sqrt{x-1}(4x+2)^2} = \frac{-6x+5}{2\sqrt{x-1}(4x+2)^2}\]

Ответ: \[y' = \frac{-6x+5}{2\sqrt{x-1}(4x+2)^2}\]