6 y=\sqrt[6]{\frac{(x+1)^{2}}{(2^{x}-4)(0,001-10^{x})}},

Для того чтобы определить область определения функции, заданной выражением

$$ y=\sqrt[6]{\frac{(x+1)^{2}}{(2^{x}-4)(0,001-10^{x})}}, $$

необходимо учитывать следующие условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень шестой степени определен только для неотрицательных чисел.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

То есть, необходимо решить неравенство:

$$ \frac{(x+1)^{2}}{(2^{x}-4)(0,001-10^{x})} \ge 0 $$

и исключить значения $$x$$, при которых знаменатель равен нулю.

Решим задачу по шагам:

1. Рассмотрим числитель:

   $$ (x+1)^{2} \ge 0 $$

   Это условие выполняется для всех $$x$$, кроме $$x = -1$$, где выражение обращается в ноль.

2. Рассмотрим знаменатель:

   $$ (2^{x}-4)(0,001-10^{x}) > 0 $$

   Нужно решить неравенство, чтобы определить, когда знаменатель положителен. Сначала найдем нули знаменателя:

   • $$2^{x}-4 = 0$$

     $$2^{x} = 4$$

     $$2^{x} = 2^{2}$$

     $$x = 2$$

   • $$0,001-10^{x} = 0$$

     $$10^{x} = 0,001$$

     $$10^{x} = 10^{-3}$$

     $$x = -3$$

   Теперь рассмотрим знаки выражения $$(2^{x}-4)(0,001-10^{x})$$ на интервалах, образованных точками $$x = -3$$ и $$x = 2$$:

   • $$x < -3$$:

     • $$2^{x}-4 < 0$$
     • $$0,001-10^{x} > 0$$
     • $$(2^{x}-4)(0,001-10^{x}) < 0$$

   • $$-3 < x < 2$$:

     • $$2^{x}-4 < 0$$
     • $$0,001-10^{x} < 0$$
     • $$(2^{x}-4)(0,001-10^{x}) > 0$$

   • $$x > 2$$:

     • $$2^{x}-4 > 0$$
     • $$0,001-10^{x} < 0$$
     • $$(2^{x}-4)(0,001-10^{x}) < 0$$

   Таким образом, $$(2^{x}-4)(0,001-10^{x}) > 0$$ при $$-3 < x < 2$$.

3. Учитываем числитель:

   $$ \frac{(x+1)^{2}}{(2^{x}-4)(0,001-10^{x})} \ge 0 $$

   Так как $$(x+1)^{2} \ge 0$$ для всех $$x$$, то дробь будет неотрицательной, когда знаменатель положителен. Однако, нужно исключить случай, когда $$x = -1$$, так как при этом числитель равен нулю и знаменатель должен быть положителен. В данном случае, $$x = -1$$ находится в интервале $$(-3, 2)$$, поэтому его нужно включить в область определения.

4. Исключаем нули знаменателя:

   $$x
   eq 2$$ и $$x
   eq -3$$

Область определения функции: $$-3 < x < 2$$. Учитывая, что $$(x+1)^2$$ может быть равно нулю при $$x=-1$$ и это значение лежит в интервале $$(-3, 2)$$, то $$x=-1$$ также входит в область определения. Значит, можно записать область определения как $$(-3, 2)$$, исключая $$x=2$$ и $$x=-3$$.

В итоге, область определения функции:

$$ x \in (-3, 2) $$

или

$$ -3 < x < 2 $$

Ответ: $$x \in (-3, 2)$$