Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математикаy) \(\int \frac{6-5x}{\sqrt{5x^2+30x+11}} dx\)
Ответ:
Привет! Давай решим этот интеграл вместе. Он выглядит немного сложно, но мы справимся!
Сначала рассмотрим интеграл:
\[\int \frac{6-5x}{\sqrt{5x^2+30x+11}} dx\]Заметим, что производная выражения под корнем равна:
\[(5x^2+30x+11)' = 10x + 30\]Теперь преобразуем числитель, чтобы выделить эту производную. Нам нужно получить выражение вида \(A(10x+30) + B\), где A и B - константы:
\[6 - 5x = A(10x + 30) + B\] \[6 - 5x = 10Ax + 30A + B\]Сравниваем коэффициенты при \(x\) и свободные члены:
\[\begin{cases} 10A = -5 \\ 30A + B = 6 \end{cases}\]Решаем систему уравнений:
\[A = -\frac{1}{2}\] \[30(-\frac{1}{2}) + B = 6\] \[-15 + B = 6\] \[B = 21\]Теперь мы можем переписать интеграл:
\[\int \frac{-\frac{1}{2}(10x+30) + 21}{\sqrt{5x^2+30x+11}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{10x+30}{\sqrt{5x^2+30x+11}} dx + 21 \int \frac{1}{\sqrt{5x^2+30x+11}} dx\]Разбиваем интеграл на два интеграла:
1. \(-\frac{1}{2} \int \frac{10x+30}{\sqrt{5x^2+30x+11}} dx\)
Пусть \(u = 5x^2+30x+11\), тогда \(du = (10x+30)dx\). Заменим переменные:
\[-\frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_1 = -\sqrt{u} + C_1 = -\sqrt{5x^2+30x+11} + C_1\]2. \(21 \int \frac{1}{\sqrt{5x^2+30x+11}} dx\)
Вынесем 5 из-под корня:
\[21 \int \frac{1}{\sqrt{5(x^2+6x+\frac{11}{5})}} dx = \frac{21}{\sqrt{5}} \int \frac{1}{\sqrt{x^2+6x+\frac{11}{5}}} dx\]Дополним до полного квадрата:
\[\frac{21}{\sqrt{5}} \int \frac{1}{\sqrt{(x^2+6x+9) + \frac{11}{5} - 9}} dx = \frac{21}{\sqrt{5}} \int \frac{1}{\sqrt{(x+3)^2 - \frac{34}{5}}} dx\]Используем формулу \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\):
\[\frac{21}{\sqrt{5}} \ln |x+3 + \sqrt{(x+3)^2 - \frac{34}{5}}| + C_2\] \[\frac{21}{\sqrt{5}} \ln |x+3 + \sqrt{x^2+6x+\frac{11}{5}}| + C_2\] \[\frac{21}{\sqrt{5}} \ln |x+3 + \sqrt{\frac{5x^2+30x+11}{5}}| + C_2\]Объединяем результаты:
\[-\sqrt{5x^2+30x+11} + \frac{21}{\sqrt{5}} \ln |x+3 + \sqrt{\frac{5x^2+30x+11}{5}}| + C\]Таким образом:
Ответ: \[-\sqrt{5x^2+30x+11} + \frac{21}{\sqrt{5}} \ln |x+3 + \sqrt{\frac{5x^2+30x+11}{5}}| + C\]
Отлично! Ты хорошо поработал. Не бойся сложных задач, у тебя все получится!
