y = log₂(x + 6) - 4

Решение:

Выражение представляет собой логарифмическую функцию вида $$y = log_a(x)$$, где $$a$$ - основание логарифма, в данном случае $$a=2$$. Логарифмическая функция определена только для положительных значений аргумента, то есть для $$x>0$$. В данном случае аргументом логарифма является выражение $$(x+6)$$, поэтому необходимо, чтобы $$x+6>0$$. Кроме того, функция имеет вычитание константы 4, что означает смещение графика функции вниз на 4 единицы.

Область определения функции определяется условием, что аргумент логарифма должен быть положительным:

$$x + 6 > 0$$

$$x > -6$$

Таким образом, область определения функции: $$x \in (-6; +\infty)$$.

Множество значений функции: $$y \in (-\infty; +\infty)$$, так как логарифмическая функция может принимать любые значения.

Для нахождения нулей функции приравняем функцию к нулю:

$$log_2(x + 6) - 4 = 0$$

$$log_2(x + 6) = 4$$

$$x + 6 = 2^4$$

$$x + 6 = 16$$

$$x = 16 - 6$$

$$x = 10$$

Таким образом, функция имеет нуль при $$x = 10$$.

Для определения промежутков знакопостоянства найдем значения функции при $$x$$ больше и меньше 10, но больше -6.

При $$x = 2$$ (больше -6 и меньше 10):

$$y = log_2(2 + 6) - 4 = log_2(8) - 4 = 3 - 4 = -1$$

Функция отрицательна на интервале $$-6 < x < 10$$.

При $$x = 10$$: $$y = 0$$.

При $$x = 26$$ (больше 10):

$$y = log_2(26 + 6) - 4 = log_2(32) - 4 = 5 - 4 = 1$$

Функция положительна при $$x > 10$$.

Таким образом, функция отрицательна на интервале $$-6 < x < 10$$, положительна при $$x > 10$$, и имеет нуль при $$x = 10$$.

Ответ: Область определения: $$x \in (-6; +\infty)$$, Множество значений: $$y \in (-\infty; +\infty)$$, Нуль функции: $$x = 10$$, Функция отрицательна на интервале $$-6 < x < 10$$, Функция положительна при $$x > 10$$.