1)y = (5x + 6)⁴ 2)y = (2-7x²+3x)³ 3)y = 4(2x-9)² 4)y = 1 (3x+5)³ 5 5)y = (6-4x)⁵ 6)y = 2√6x + 2 X 7)y=-12 14 8) y = sin(6x- π 3 9)y = 4 cos(2x + π) π 10)y = tg 3x 4 11)y = 4ctg+ π 12)y = 5 sin³ 3x +

Здравствуйте! Я Марина, ваш методист по математике. Сейчас помогу найти производные.

Производная функции — это мера того, как быстро изменяется значение функции относительно изменения её аргумента. В задачах ниже необходимо найти производные заданных функций.

Начнём:

1. $$y = (5x + 6)^4$$

   Используем правило цепочки (производная сложной функции):

   $$y' = 4(5x + 6)^3 \cdot (5x + 6)' = 4(5x + 6)^3 \cdot 5 = 20(5x + 6)^3$$

   Ответ: $$20(5x + 6)^3$$

2. $$y = (2 - 7x^2 + 3x)^3$$

   Применяем правило цепочки:

   $$y' = 3(2 - 7x^2 + 3x)^2 \cdot (2 - 7x^2 + 3x)' = 3(2 - 7x^2 + 3x)^2 \cdot (-14x + 3) = (3 - 14x) \cdot 3(2 - 7x^2 + 3x)^2$$

   Ответ: $$(3 - 14x) \cdot 3(2 - 7x^2 + 3x)^2$$

3. $$y = 4(2x - 9)^2$$

   Производная:

   $$y' = 4 \cdot 2(2x - 9) \cdot (2x - 9)' = 8(2x - 9) \cdot 2 = 16(2x - 9)$$

   Ответ: $$16(2x - 9)$$

4. $$y = \frac{1}{(3x + 5)^3} = (3x + 5)^{-3}$$

   Применяем правило цепочки:

   $$y' = -3(3x + 5)^{-4} \cdot (3x + 5)' = -3(3x + 5)^{-4} \cdot 3 = -9(3x + 5)^{-4} = \frac{-9}{(3x + 5)^4}$$

   Ответ: $$\frac{-9}{(3x + 5)^4}$$

5. $$y = \frac{5}{(6 - 4x)^5} = 5(6 - 4x)^{-5}$$

   Производная:

   $$y' = 5 \cdot (-5)(6 - 4x)^{-6} \cdot (6 - 4x)' = -25(6 - 4x)^{-6} \cdot (-4) = 100(6 - 4x)^{-6} = \frac{100}{(6 - 4x)^6}$$

   Ответ: $$\frac{100}{(6 - 4x)^6}$$

6. $$y = 2\sqrt{6x + 2} = 2(6x + 2)^{\frac{1}{2}}$$

   Производная:

   $$y' = 2 \cdot \frac{1}{2}(6x + 2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (6x + 2)' = (6x + 2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6 = \frac{6}{\sqrt{6x + 2}}$$

   Ответ: $$\frac{6}{\sqrt{6x + 2}}$$

7. $$y = \sqrt{\frac{x}{4} - 12} = (\frac{x}{4} - 12)^{\frac{1}{2}}$$

   Производная:

   $$y' = \frac{1}{2}(\frac{x}{4} - 12)^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{x}{4} - 12)' = \frac{1}{2}(\frac{x}{4} - 12)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8\sqrt{\frac{x}{4} - 12}}$$

   Ответ: $$\frac{1}{8\sqrt{\frac{x}{4} - 12}}$$

8. $$y = \sin(6x - \frac{\pi}{3})$$

   Производная:

   $$y' = \cos(6x - \frac{\pi}{3}) \cdot (6x - \frac{\pi}{3})' = \cos(6x - \frac{\pi}{3}) \cdot 6 = 6\cos(6x - \frac{\pi}{3})$$

   Ответ: $$6\cos(6x - \frac{\pi}{3})$$

9. $$y = 4\cos(2x + \pi)$$

   Производная:

   $$y' = -4\sin(2x + \pi) \cdot (2x + \pi)' = -4\sin(2x + \pi) \cdot 2 = -8\sin(2x + \pi)$$

   Ответ: $$-8\sin(2x + \pi)$$

10. $$y = \tan(3x - \frac{\pi}{4})$$

    Производная:

    $$y' = \frac{1}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})} \cdot (3x - \frac{\pi}{4})' = \frac{1}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})}$$

    Ответ: $$\frac{3}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})}$$

11. $$y = 4\cot(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})$$

    Производная:

    $$y' = -4\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})} \cdot (\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})' = -4\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{2}{\sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})}$$

    Ответ: $$\frac{-2}{\sin^2(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{6})}$$

12. $$y = 5\sin^3(3x + \frac{\pi}{2})$$

    Производная:

    $$y' = 5 \cdot 3\sin^2(3x + \frac{\pi}{2}) \cdot (\sin(3x + \frac{\pi}{2}))' = 15\sin^2(3x + \frac{\pi}{2}) \cdot \cos(3x + \frac{\pi}{2}) \cdot (3x + \frac{\pi}{2})' = 15\sin^2(3x + \frac{\pi}{2}) \cdot \cos(3x + \frac{\pi}{2}) \cdot 3 = 45\sin^2(3x + \frac{\pi}{2})\cos(3x + \frac{\pi}{2})$$

    Ответ: $$45\sin^2(3x + \frac{\pi}{2})\cos(3x + \frac{\pi}{2})$$