6. y" + y = 1/cos x ;

Решаем дифференциальное уравнение методом вариации постоянных.

1. Находим общее решение однородного уравнения:

$$y'' + y = 0$$

Характеристическое уравнение:

$$k^2 + 1 = 0$$

$$k = \pm i$$

Общее решение однородного уравнения:

$$y_0 = C_1 \cos x + C_2 \sin x$$

2. Ищем частное решение неоднородного уравнения в виде:

$$y = C_1(x) \cos x + C_2(x) \sin x$$

3. Составляем и решаем систему уравнений для нахождения $$C_1'(x)$$ и $$C_2'(x)$$:

$$\begin{cases} C_1'(x) \cos x + C_2'(x) \sin x = 0 \\ -C_1'(x) \sin x + C_2'(x) \cos x = \frac{1}{\cos x} \end{cases}$$

Решаем систему:

$$C_1'(x) = - \tan x$$

$$C_2'(x) = 1 \implies$$

$$C_1(x) = - \int \tan x dx = \ln |\cos x| + c_1$$

$$C_2(x) = \int 1 dx = x + c_2$$

$$y = \ln |\cos x| \cos x + x \sin x + c_1 \cos x + c_2 \sin x$$

Ответ: $$y = \ln |\cos x| \cos x + x \sin x + c_1 \cos x + c_2 \sin x$$