y = 3^(-x^2 - 6x - 7) Найдите наибольшее значение функции

Решение:

Функция \( y = 3^{f(x)} \) достигает своего наибольшего значения, когда показатель степени \( f(x) \) принимает наибольшее значение. В данном случае, показатель степени — это квадратичная функция \( f(x) = -x^2 - 6x - 7 \).

Чтобы найти наибольшее значение параболы, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный), найдём вершину параболы.

1. Найдем абсциссу вершины параболы по формуле \( x_в = \frac{-b}{2a} \), где \( a = -1 \) и \( b = -6 \).
2. \( x_в = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{-2} = -3 \).
3. Найдем ординату вершины параболы, подставив \( x_в = -3 \) в функцию \( f(x) \):
4. \( f(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) - 7 = -9 + 18 - 7 = 2 \).
5. Таким образом, наибольшее значение показателя степени равно 2.
6. Теперь найдем наибольшее значение функции \( y \), подставив наибольшее значение показателя степени:
7. \( y_{наиб} = 3^2 = 9 \).

Ответ: 9