y'' - 4y' + 4y = 4x³ - 2x + cos x ;

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Этап 1: Решение однородного уравнения

1. Шаг 1: Составляем характеристическое уравнение для однородного уравнения y'' - 4y' + 4y = 0. Заменяем y'' на r², y' на r, и y на 1:

r² - 4r + 4 = 0

2. Шаг 2: Решаем квадратное уравнение. Это полный квадрат:

(r - 2)² = 0

3. Шаг 3: Находим корни. У нас есть один корень кратности 2:

r₁ = r₂ = 2

4. Шаг 4: Записываем общее решение однородного уравнения. Для кратных корней формула следующая:

yh = C₁ * erx + C₂ * x * erx
Подставляем r = 2:yh = C₁ * e2x + C₂ * x * e2x

Этап 2: Нахождение частного решения неоднородного уравнения

Правая часть уравнения: 4x³ - 2x + cos x. Это сумма многочлена и тригонометрической функции. Мы будем искать частное решение в виде суммы:

y_p = y_p1 (для 4x³ - 2x) + y_p2 (для cos x)

1. Шаг 5: Находим частное решение для многочлена 4x³ - 2x. Так как 0 не является корнем характеристического уравнения, предполагаем, что y_p1 имеет вид:
   
   yp1 = Ax³ + Bx² + Cx + D

   Находим первую и вторую производные:

   y'_p1 = 3Ax² + 2Bx + C

   y''_p1 = 6Ax + 2B

   Подставляем в исходное уравнение:

   (6Ax + 2B) - 4(3Ax² + 2Bx + C) + 4(Ax³ + Bx² + Cx + D) = 4x³ - 2x

   Раскрываем скобки и группируем по степеням x:

   4Ax³ + (-12A + 4B)x² + (6A - 8B + 4C)x + (2B - 4C + 4D) = 4x³ - 2x

   Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

   • x³: 4A = 4 => A = 1
   • x²: -12A + 4B = 0 => -12(1) + 4B = 0 => 4B = 12 => B = 3
   • x¹: 6A - 8B + 4C = -2 => 6(1) - 8(3) + 4C = -2 => 6 - 24 + 4C = -2 => -18 + 4C = -2 => 4C = 16 => C = 4
   • x⁰: 2B - 4C + 4D = 0 => 2(3) - 4(4) + 4D = 0 => 6 - 16 + 4D = 0 => -10 + 4D = 0 => 4D = 10 => D = 2.5

   Итак, y_p1 = x³ + 3x² + 4x + 2.5

2. Шаг 6: Находим частное решение для cos x. Так как i и -i не являются корнями характеристического уравнения, предполагаем, что y_p2 имеет вид:
   
   yp2 = E * cos x + F * sin x

   Находим первую и вторую производные:

   y'_p2 = -E * sin x + F * cos x

   y''_p2 = -E * cos x - F * sin x

   Подставляем в исходное уравнение (только для члена cos x):

   (-E cos x - F sin x) - 4(-E sin x + F cos x) + 4(E cos x + F sin x) = cos x

   Группируем по cos x и sin x:

   cos x * (-E - 4F + 4E) + sin x * (-F + 4E + 4F) = cos x

   cos x * (3E - 4F) + sin x * (4E + 3F) = cos x

   Приравниваем коэффициенты:

   • cos x: 3E - 4F = 1
   • sin x: 4E + 3F = 0 => 4E = -3F => E = -3/4 * F

   Подставляем E во второе уравнение:

   3(-3/4 * F) - 4F = 1

   -9/4 * F - 16/4 * F = 1

   -25/4 * F = 1 => F = -4/25

   Находим E:

   E = -3/4 * (-4/25) = 12/100 = 3/25

   Итак, y_p2 = 3/25 * cos x - 4/25 * sin x

3. Шаг 7: Записываем общее решение.

y = y_h + y_p1 + y_p2

y = C₁e^2x + C₂xe^2x + x³ + 3x² + 4x + 2.5 + 3/25 cos x - 4/25 sin x

Ответ: y = C₁e^2x + C₂xe^2x + x³ + 3x² + 4x + 2.5 + rac{3}{25} ext{cos x} - rac{4}{25} ext{sin x}