Разберем, когда после приставок пишется Ы, а когда И.
* После русских приставок, оканчивающихся на согласную, вместо И пишется Ы в соответствии с произношением. Исключения: меж-, сверх-.
* После приставок иноязычного происхождения (дез-, контр-, пост-, суб-, супер-, транс-) пишется И.
* В сложносокращенных словах пишется И.
На основании этого правила вставим пропущенные буквы:
* Разыскивать (русская приставка раз-)
* Безыдейный (русская приставка без-)
* Сыграть (русская приставка с-)
* Сверхинициативный (исключение: приставка сверх-)
* Безысходный (русская приставка без-)
* Предыдущий (русская приставка пред-)
* Суперизящный (иноязычная приставка супер-)
* Межинститутский (исключение: приставка меж-)
* Небезынтересный (русская приставка без-)
* Безыскусный (русская приставка без-)
* Безыскусственный (русская приставка без-)
* Подыграть (русская приставка под-)
* Дезинформация (иноязычная приставка дез-)