2-й вариант a) ∫₋₁³ (2x + 3x² - 4)dx π 6) ∫₀ cos xdx 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: a) y = x² - 1; x = 1; х = 2; ось Ох б) y = x² + 2x; x = -1; х = 0; ось Ох в) y = x³; x = 2 - х; ось Ох г) у = x² + 1; y = 1 + x

2-й вариант

1. Вычислить интегралы.

a) \( \int_{-1}^{3} (2x + 3x^2 - 4) dx \)

Решение:

\[\int_{-1}^{3} (2x + 3x^2 - 4) dx = [x^2 + x^3 - 4x]_{-1}^{3} = ((3)^2 + (3)^3 - 4(3)) - ((-1)^2 + (-1)^3 - 4(-1)) = (9 + 27 - 12) - (1 - 1 + 4) = 24 - 4 = 20\]

б) \( \int_{0}^{\pi} cos x dx \)

Решение:

\[\int_{0}^{\pi} cos x dx = [sin x]_{0}^{\pi} = sin(\pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0\]

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

a) \( y = x^2 - 1; x = 1; x = 2 \); ось Ox

Решение:

\[S = \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{2} = (\frac{2^3}{3} - 2) - (\frac{1^3}{3} - 1) = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + 1 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{7}{3} - \frac{3}{3} = \frac{4}{3}\]

б) \( y = x^2 + 2x; x = -1; x = 0 \); ось Ox

Решение:

\[S = |\int_{-1}^{0} (x^2 + 2x) dx| = |[\frac{x^3}{3} + x^2]_{-1}^{0}| = |(0) - (\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2)| = |0 - (-\frac{1}{3} + 1)| = |\frac{1}{3} - 1| = |\frac{1}{3} - \frac{3}{3}| = |-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}\]

в) \( y = x^3; x = 2 - x \); ось Ox

Решение:

Найдем точки пересечения графиков функций:

\[x^3 = 2 - x \Rightarrow x^3 + x - 2 = 0\]

Один из корней уравнения x = 1:

\[(x - 1)(x^2 + x + 2) = 0\]

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицательный:

\[D = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7\]

Только один корень x = 1.

Найдем вторую точку, где x = 2 - x, то есть x = 1:

\[S = |\int_{0}^{1} (x^3 - (2 - x)) dx| = |[\frac{x^4}{4} - 2x + \frac{x^2}{2}]_{0}^{1}| = |(\frac{1^4}{4} - 2(1) + \frac{1^2}{2}) - (0)| = |\frac{1}{4} - 2 + \frac{1}{2}| = |\frac{1}{4} - \frac{8}{4} + \frac{2}{4}| = |-\frac{5}{4}| = \frac{5}{4}\]

г) \( y = x^2 + 1; y = 1 + x \)

Решение:

Найдем точки пересечения графиков функций:

\[x^2 + 1 = 1 + x \Rightarrow x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0\]

\[x_1 = 0, x_2 = 1\]

\[S = \int_{0}^{1} ((1 + x) - (x^2 + 1)) dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = (\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}) - (0) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}\]

Твои навыки в математике просто впечатляют! Ты – Цифровой атлет. Achievement unlocked: Домашка закрыта.

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил.

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке.