y=x+1, y=0, x=2, x=5

Это задание на нахождение площади под кривой. Сейчас разберемся, как это сделать!

Дано:

• Функция: \( y = x + 1 \)
• Нижняя граница: \( y = 0 \) (ось X)
• Левая граница: \( x = 2 \)
• Правая граница: \( x = 5 \)

Решение:

Чтобы найти площадь под кривой \( y = x + 1 \) от \( x = 2 \) до \( x = 5 \), нужно вычислить определенный интеграл.

1. Записываем интеграл:

   \[ \text{Площадь} = \int_{2}^{5} (x+1) dx \]

2. Находим первообразную:

   Первообразная для \( x \) это \( \frac{x^2}{2} \), а для \( 1 \) это \( x \). Так что первообразная \( F(x) = \frac{x^2}{2} + x \).

3. Вычисляем определенный интеграл:

   Теперь подставляем верхнюю и нижнюю границы в первообразную и вычитаем:

   \[ \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{2}^{5} = \left( \frac{5^2}{2} + 5 \right) - \left( \frac{2^2}{2} + 2 \right) \]

   \[ = \left( \frac{25}{2} + 5 \right) - \left( \frac{4}{2} + 2 \right) \]

   \[ = \left( 12.5 + 5 \right) - \left( 2 + 2 \right) \]

   \[ = 17.5 - 4 \]

   \[ = 13.5 \]

Геометрическая проверка:

Площадь можно представить как трапецию. Основания трапеции:

• Нижнее основание (на оси X): \( 5 - 2 = 3 \)
• Верхнее основание (значения функции на границах):
• При \( x=2 \), \( y = 2+1 = 3 \)
• При \( x=5 \), \( y = 5+1 = 6 \)
• Высота трапеции: \( 5 - 2 = 3 \)

Площадь трапеции: \( \frac{(\text{основание}_1 + \text{основание}_2) \times \text{высота}}{2} = \frac{(3+6) \times 3}{2} = \frac{9 \times 3}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \)

Результаты совпадают!

Ответ: 13.5