y=x^2 - 6x +8, y=0, x=4

Решение:

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 - 6x + 8 \) и осью ОХ \( (y=0) \) на отрезке \( x \) от начала координат до \( x=4 \).

1. Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ, приравняв \( y=0 \):
   \[ x^2 - 6x + 8 = 0 \]
   Корни уравнения: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = 4 \).
2. Определим знак функции на интервале \( [0, 4] \). Возьмём пробную точку, например \( x=3 \):
   \[ y = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1 \]
   Значит, на интервале \( (2, 4) \) функция отрицательна, а на интервале \( (0, 2) \) — положительна.
3. Площадь фигуры рассчитывается как интеграл от функции. Так как на интервале \( [2, 4] \) функция отрицательна, перед интегралом ставится знак минус, чтобы площадь была положительной.
4. Вычислим площадь:
   \[ S = \int_0^4 |x^2 - 6x + 8| dx = \int_0^2 (x^2 - 6x + 8) dx + \int_2^4 -(x^2 - 6x + 8) dx \]
5. Вычислим первый интеграл:
   \[ \int_0^2 (x^2 - 6x + 8) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x \right]_0^2 = \left( \frac{2^3}{3} - 3 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 \right) - (0) = \frac{8}{3} - 12 + 16 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{8 + 12}{3} = \frac{20}{3} \]
6. Вычислим второй интеграл:
   \[ \int_2^4 -(x^2 - 6x + 8) dx = -\left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x \right]_2^4 = -\left[ \left( \frac{4^3}{3} - 3 \cdot 4^2 + 8 \cdot 4 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 3 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 \right) \right] \]
   \[ = -\left[ \left( \frac{64}{3} - 48 + 32 \right) - \left( \frac{8}{3} - 12 + 16 \right) \right] = -\left[ \left( \frac{64}{3} - 16 \right) - \left( \frac{8}{3} + 4 \right) \right] \]
   \[ = -\left[ \frac{64 - 48}{3} - \frac{8 + 12}{3} \right] = -\left[ \frac{16}{3} - \frac{20}{3} \right] = -\left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} \]
7. Сложим полученные площади:
   \[ S = \frac{20}{3} + \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 8.