y = x^2, y = 0, x = 2

Построим график функции:

У нас есть функция \( y = x^2 \). Это парабола с вершиной в начале координат, ветвями, направленными вверх.

Также у нас есть ограничения:

• \( y = 0 \) — это ось абсцисс (ось X).
• \( x = 2 \) — это вертикальная прямая.

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = x^2 \), осью X и вертикальной прямой \( x = 2 \).

Для этого мы можем использовать определённый интеграл:

$$ A = \int_{0}^{2} x^2 dx $$

Теперь вычислим интеграл:

1. Найдём первообразную для \( x^2 \): \( \frac{x^3}{3} \)
2. Вычислим значение первообразной на верхнем пределе \( x = 2 \): \( \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} \)
3. Вычислим значение первообразной на нижнем пределе \( x = 0 \): \( \frac{0^3}{3} = 0 \)
4. Вычтем значение на нижнем пределе из значения на верхнем пределе: \( \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \)

Для визуализации можно построить график:

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{8}{3} \) квадратных единиц.