y = x^3 - 12x^2 + 36x + 23.

Решение:

Найдём первую производную функции \( y = x^3 - 12x^2 + 36x + 23 \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 12x^2 + 36x + 23) \]

\[ y' = 3x^2 - 24x + 36 \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 3x^2 - 24x + 36 = 0 \]

Разделим всё уравнение на 3:

\[ x^2 - 8x + 12 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 \]

\[ x_1 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6 \]

\[ x_2 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2 \]

Теперь найдём вторую производную:

\[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 24x + 36) \]

\[ y'' = 6x - 24 \]

Определим характер точек:

При \( x = 2 \): \( y'' = 6(2) - 24 = 12 - 24 = -12 \). Так как \( y'' < 0 \), то в точке \( x=2 \) — максимум.

При \( x = 6 \): \( y'' = 6(6) - 24 = 36 - 24 = 12 \). Так как \( y'' > 0 \), то в точке \( x=6 \) — минимум.

Найдём значения функции в точках экстремума:

При \( x = 2 \): \( y = 2^3 - 12(2^2) + 36(2) + 23 = 8 - 12(4) + 72 + 23 = 8 - 48 + 72 + 23 = 55 \)

При \( x = 6 \): \( y = 6^3 - 12(6^2) + 36(6) + 23 = 216 - 12(36) + 216 + 23 = 216 - 432 + 216 + 23 = 23 \)

Ответ: Максимум в точке \( x=2 \), \( y=55 \). Минимум в точке \( x=6 \), \( y=23 \).