y = (x+8) * e^(12-x)

Решение:

Задана функция \( y = (x+8) \cdot e^{12-x} \).

Для нахождения производной используем правило умножения функций \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \), где \( u = x+8 \) и \( v = e^{12-x} \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

• \( u' = (x+8)' = 1 \)
• \( v' = (e^{12-x})' = e^{12-x} \cdot (12-x)' = e^{12-x} \cdot (-1) = -e^{12-x} \)

Теперь подставим в формулу производной:

\[ y' = 1 \cdot e^{12-x} + (x+8) \cdot (-e^{12-x}) \]

\[ y' = e^{12-x} - (x+8)e^{12-x} \]

Вынесем общий множитель \( e^{12-x} \):

\[ y' = e^{12-x} (1 - (x+8)) \]

\[ y' = e^{12-x} (1 - x - 8) \]

\[ y' = e^{12-x} (-x - 7) \]

Или, в более стандартном виде:

\[ y' = -(x+7)e^{12-x} \]

Ответ: Производная функции равна \( y' = -(x+7)e^{12-x} \).