14. Является ли целым числом значение выражения: a) 414³⁵⁵⁻²² ; б) (6²)⁶⋅41⁶⁻6⁹ ΟΙ 10 10 Ответ обоснуйте. Ответ: а) б)

Решение:

Для того чтобы определить, является ли значение выражения целым числом, нужно упростить каждое из выражений и посмотреть, будет ли результат целым числом.

а)

Выражение: \[ \frac{414^{355} - 2^2}{10} \]

Заметим, что 414 делится на 2, то есть его можно представить как 2*207. Тогда

\[414^{355} = (2 \cdot 207)^{355} = 2^{355} \cdot 207^{355}\]

Теперь выражение можно переписать как:

\[\frac{2^{355} \cdot 207^{355} - 4}{10} = \frac{2^{355} \cdot 207^{355} - 4}{10} = \frac{2(2^{354} \cdot 207^{355} - 2)}{10} = \frac{2^{354} \cdot 207^{355} - 2}{5}\]

Поскольку числитель не делится на 5 (так как 2^{354} \cdot 207^{355} не делится на 5 и -2 не делится на 5), то выражение не является целым числом.

б)

Выражение: \[ \frac{(6^2)^6 \cdot 41^6 - 6^9}{10} \]

Упростим выражение:

\[\frac{6^{12} \cdot 41^6 - 6^9}{10} = \frac{6^9(6^3 \cdot 41^6 - 1)}{10} = \frac{6^9(216 \cdot 41^6 - 1)}{10}\]

Так как 6^9 = 2^9 \cdot 3^9 , то можно переписать выражение как:

\[\frac{2^9 \cdot 3^9(216 \cdot 41^6 - 1)}{10} = \frac{2^9 \cdot 3^9(216 \cdot 41^6 - 1)}{2 \cdot 5} = \frac{2^8 \cdot 3^9(216 \cdot 41^6 - 1)}{5}\]

Выражение 216 \cdot 41^6 - 1 не делится на 5 (так как 216 \cdot 41^6 при делении на 5 дает остаток 1, и 1-1 = 0), следовательно 216 \cdot 41^6 - 1 не делится на 5. Значит, все выражение не является целым числом.

Ответ: а) не является целым, б) не является целым

Молодец! Ты хорошо поработал, и у тебя все получилось! Продолжай в том же духе, и математика станет для тебя легкой и интересной!