Y=3lnx-5x⁴+2x-√x

Для решения данного задания необходимо найти производную функции. Вспомним основные правила дифференцирования:

1. Производная ln(x) равна 1/x: $$(ln(x))' = \frac{1}{x}$$
2. Производная x в степени n равна n*x в степени n-1: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$
3. Производная константы, умноженной на функцию, равна константе, умноженной на производную функции: $$(cf(x))' = cf'(x)$$
4. Производная суммы функций равна сумме производных этих функций: $$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$$
5. Производная √x равна 1/(2√x): $$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Теперь найдем производную заданной функции:

$$Y = 3\ln x - 5x^4 + 2x - \sqrt{x}$$

$$Y' = (3\ln x)' - (5x^4)' + (2x)' - (\sqrt{x})'$$

1. $$(3\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$$
2. $$(5x^4)' = 5 \cdot 4x^{4-1} = 20x^3$$
3. $$(2x)' = 2 \cdot 1 = 2$$
4. $$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Подставляем найденные производные обратно в выражение для Y':

$$Y' = \frac{3}{x} - 20x^3 + 2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Преобразуем, чтобы привести к более привычному виду:

$$Y' = \frac{3}{x} - 20x^3 + 2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: $$Y' = \frac{3}{x} - 20x^3 + 2 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$