6) z³+1=0

Решим уравнение $$z^3 + 1 = 0$$.

Представим -1 в тригонометрической форме:

$$z^3 = -1 = 1(\cos(\pi + 2\pi k) + i \sin(\pi + 2\pi k)), k \in \mathbb{Z}$$

Используем формулу для нахождения корней комплексного числа:

$$z_k = \sqrt[3]{1} \left( \cos \left( \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right) + i \sin \left( \frac{\pi + 2\pi k}{3} \right) \right), k = 0, 1, 2$$

Найдем корни:

1. Для $$k = 0$$:

   $$z_0 = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$$

2. Для $$k = 1$$:

   $$z_1 = \cos \frac{\pi + 2\pi}{3} + i \sin \frac{\pi + 2\pi}{3} = \cos \pi + i \sin \pi = -1$$

3. Для $$k = 2$$:

   $$z_2 = \cos \frac{\pi + 4\pi}{3} + i \sin \frac{\pi + 4\pi}{3} = \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} = \cos \left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, корни уравнения: $$z_0 = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}, z_1 = -1, z_2 = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Ответ: $$z_0 = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}, z_1 = -1, z_2 = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$$