z⁵ - z³ + z² - 1 = 0

Для решения данного уравнения можно попробовать разложить левую часть на множители.

Сгруппируем члены:

$$z^5 - z^3 + z^2 - 1 = (z^5 - z^3) + (z^2 - 1) = 0$$

Вынесем общий множитель в каждой группе:

$$z^3(z^2 - 1) + (z^2 - 1) = 0$$

Теперь вынесем общий множитель (z² - 1):

$$(z^2 - 1)(z^3 + 1) = 0$$

Разложим каждый множитель, используя формулы разности квадратов и суммы кубов:

$$(z - 1)(z + 1)(z + 1)(z^2 - z + 1) = 0$$

$$(z - 1)(z + 1)^2(z^2 - z + 1) = 0$$

Теперь найдем корни уравнения, приравняв каждый множитель к нулю:

1. $$z - 1 = 0$$

$$z = 1$$

2. $$(z + 1)^2 = 0$$

$$z + 1 = 0$$

$$z = -1$$

3. $$z^2 - z + 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$$

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными.

$$z_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{-3}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$$

$$z_1 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, z_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$$

Итак, корни уравнения:

$$z = 1, z = -1, z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, z = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: Корни уравнения: $$z = 1, -1, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$$