z = arcsin(u/v), где u = (1-x)², v = 2ˣ

Вычислим производную функции z по x, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного.
1. Заменим u и v в выражении для z: z = arcsin((1-x)² / 2ˣ).
2. Применим правило дифференцирования сложной функции: dz/dx = (dz/du) * (du/dx) + (dz/dv) * (dv/dx).
3. Найдем частные производные: dz/du = 1/√(1 - (u/v)²), du/dx = 2(1-x)(-1) = -2(1-x), dv/dx = 2ˣ * ln(2).
4. Подставим u и v обратно и вычислим dz/dx.
dz/dx = (1/√(1 - ((1-x)²/2ˣ)²)) * (-2(1-x)) + (dz/du) * (dv/dx) - это неверный путь, так как z зависит от u и v, а u и v зависят от x. Правильный путь - использовать правило дифференцирования сложной функции для z(u(x), v(x)).
dz/dx = (∂z/∂u) * (du/dx) + (∂z/∂v) * (dv/dx).
∂z/∂u = 1/√(1 - (u/v)²)
∂z/∂v = -u/(v² * √(1 - (u/v)²))
du/dx = -2(1-x)
dv/dx = 2ˣ * ln(2)
Подставляем: dz/dx = (1/√(1 - (u²/v²))) * (-2(1-x)) + (-u/(v² * √(1 - (u²/v²)))) * (2ˣ * ln(2))
dz/dx = (-2(1-x)v² - u * 2ˣ * ln(2)) / (v² * √(1 - u²/v²))
dz/dx = (-2(1-x)(2ˣ)² - (1-x)² * 2ˣ * ln(2)) / ((2ˣ)² * √(1 - ((1-x)²/2ˣ)²))
dz/dx = (-2(1-x)2²ˣ - (1-x)² 2ˣ ln(2)) / (2²ˣ * √(1 - (1-x)⁴/2²ˣ))
dz/dx = (-2(1-x)2²ˣ - (1-x)² 2ˣ ln(2)) / (2²ˣ * √((2²ˣ - (1-x)⁴)/2²ˣ))
dz/dx = (-2(1-x)2²ˣ - (1-x)² 2ˣ ln(2)) / (2²ˣ * (√(2²ˣ - (1-x)⁴) / 2ˣ))
dz/dx = (-2(1-x)2²ˣ - (1-x)² 2ˣ ln(2)) / (2ˣ * √(2²ˣ - (1-x)⁴))
dz/dx = (-2(1-x)2ˣ - (1-x)² ln(2)) / √(2²ˣ - (1-x)⁴)