з) Если $a+b\ge 0$, $a\ne 0$, $b\ne 0$, то $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: з) Если $a+b\ge 0$, $a\ne 0$, $b\ne 0$, то $\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Перенесём правую часть в левую и приведём к общему знаменателю. Поскольку $a^2b^2>0$, знак разности совпадает со знаком её числителя:

\[\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{a^3+b^3-ab^2-a^2b}{a^2b^2}=\frac{(a+b)(a-b)^2}{a^2b^2}.\]

По условию $a+b\ge 0$, а $(a-b)^2\ge 0$. Поэтому разность неотрицательна, что и доказывает неравенство. Равенство возможно при $a+b=0$ или $a=b$.

з) Если \(a+b\ge 0\), \(a\ne 0\), \(b\ne 0\), то \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\).