З точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких дорівнюють 15 см і 20 см. Знайдіть відстань від точки до прямої, якщо проекцій похилих на цю пряму відносяться як 9:16?

Дано:

Дві похилі \( a = 15 \) см, \( b = 20 \) см.

Проекції похилих \( p_1 \) і \( p_2 \) відносяться як \( 9:16 \).

Знайти:

Відстань від точки до прямої (висота) \( h \).

Рішення:

Позначимо проекції похилих як \( 9x \) і \( 16x \).

За теоремою Піфагора маємо два рівняння:

1. \( h^2 + (9x)^2 = 15^2 \)
2. \( h^2 + (16x)^2 = 20^2 \)

Спростимо рівняння:

1. \( h^2 + 81x^2 = 225 \)
2. \( h^2 + 256x^2 = 400 \)

Віднімемо перше рівняння від другого:

\( (h^2 + 256x^2) - (h^2 + 81x^2) = 400 - 225 \)

\( 175x^2 = 175 \)

\( x^2 = 1 \)

\( x = 1 \) (оскільки довжина не може бути від'ємною).

Тепер підставимо \( x = 1 \) в перше рівняння, щоб знайти \( h^2 \):

\( h^2 + 81(1)^2 = 225 \)

\( h^2 + 81 = 225 \)

\( h^2 = 225 - 81 \)

\( h^2 = 144 \)

\( h = \sqrt{144} \)

\( h = 12 \) см.

Відповідь: 12 см.